Lo que voy a escribir aquí está tomado de Wedler: Lehrbuch der Physikalischen Chemie. Lamentablemente, no conozco una traducción al inglés de este libro -explicaciones similares en un estilo menos formal-matemático podrían estar contenidas en Atkins/de Paula: Physical Chemistry.
Para el potencial químico del componente $i$ en una mezcla ideal podemos escribir $$\mu_i (p,T) = \mu_i^*(p,T)+RT \ln(x_i) $$ Aquí $\mu_i^*(p,T)$ representa el potencial químico del componente puro (es decir, la misma sustancia sin mezclar con nada más) y $x_i$ para la fracción molar del componente $i$ en la mezcla. Para tener en cuenta las desviaciones del comportamiento ideal, el concepto de Actividad termodinámica $a_i$ se utiliza: $$\mu_i (p,T) = \mu_i^*(p,T)+RT \ln(a_i) $$ La actividad termodinámica $a_i$ del componente $i$ es definido a través de esta ecuación y suele darse como producto de un coeficiente de actividad $f_i$ y la fracción molar $x_i$ .
Consideremos ahora una mezcla de un líquido (componente 1) con un componente (componente 2) que (idealmente) no se evapora. La fase líquida $\beta$ está en equilibrio con una fase sólida $\alpha$ del componente 1. Las condiciones de equilibrio termodinámico son: $$\frac{\mu_1^{\alpha}}{T} = \frac{\mu_1^{\beta}}{T} $$ Para la fase sólida, sólo tenemos $\mu_1^{* \alpha}=\mu_1^{\alpha}$ ya que es una fase pura. Para la fase líquida, podemos escribir como arriba: $$\mu_1^{\beta} = \mu_1^{* \beta} + RT \ln a_1 $$ Combinando esto obtenemos: $$\textrm{d}\left(\frac{\mu_1^{* \alpha}}{T}\right) = \textrm{d}\left(\frac{\mu_1^{* \beta}}{T}\right) + \textrm{d}\left(R \ln a_1 \right) $$ Utilizando $dp=0$ y las propiedades del potencial químico, esto equivale a: $$\frac{-h_1^{* \alpha}}{T^2} dT = \frac{-h_1^{* \beta}}{T^2} dT + \textrm{d}\left(R \ln a_1 \right) $$ o: $$\left( \frac{\partial T}{\partial \ln a_1} \right)_{p} = \frac{RT^2}{\Delta_m H} $$ Aquí, $\Delta_m H$ es la entalpía de fusión molar. Deteniéndonos aquí por un segundo, vemos que no existe una simple regla de mezcla para las temperaturas de fusión, sino que la magnitud de la disminución del punto de fusión es proporcional a la cantidad en la que se reduce la actividad química de la especie principal al mezclar las especies adicionales.
Para las mezclas diluidas ideales podemos establecer $\ln a_i = \ln (1-x_2) \approx -x_2$ y bajo la suposición de que la entalpía de fusión es independiente de la temperatura, podemos integrar la ecuación anterior para obtener $$T_m(x_2)-T_m(x_2=0) = - \frac{RT^2_m(x_2=0)}{\Delta_m H} x_2$$ Esto subraya el hecho de que, para las mezclas ideales o muy diluidas, la cantidad en la que se reduce la temperatura de fusión depende de la cantidad de la segunda especie que se introduce, pero no del punto de fusión de dicha especie. En realidad, las propiedades de la segunda especie importan, por supuesto, a través del coeficiente de actividad.
Espero haber entendido bien tu pregunta y que lo que he escrito te dé una idea. Agradezco mucho las críticas constructivas y las preguntas sobre cosas que no me han quedado claras.
