¿Cuántos monoides de orden tres hay?

Question

http://oeis.org/A058129

En el enlace anterior podemos ver que la respuesta es 7. He intentado contarlas y no me sale 7. No estoy seguro de lo que estoy haciendo mal, así que ¿podría alguien contarlas paso a paso?

Answer 1

Dejemos que $M$ sea un monoide con tres elementos. Sea $G$ sea su grupo de unidades (elementos que tienen un inverso) y sea $I$ sea su ideal mínimo. Nótese que si $|I| = 1$ entonces $M$ tiene un cero. Denotemos por $C_n$ el grupo cíclico de orden $n$ .

1. Si $M = G = I$ entonces $M = C_3$ . Por lo demás, $G$ y $I$ son disjuntos.
2. Si $|G| = 2$ y $|I| = 1$ entonces $M = C_2 \cup \{0\}$ .
3. Si $|G| = 1$ y $|I| = 1$ entonces $M = \{1, a, 0\}$ y se dan dos casos: o bien $aa = a$ o $aa = 0$ .
4. Si $|G| = 1$ y $|I| = 2$ Entonces se dan tres posibilidades: $I = C_2$ , $I = \{a, b\}$ con $aa = ba = a$ y $bb = ab = b$ o $I = \{a, b\}$ con $aa = ab = a$ y $bb = ba = b$ .

En total, esto da 1 + 1 + 2 + 3 = 7 posibilidades.