Desigualdad para la medida de un conjunto.

Question

Deje que$(X,\mu)$ sea un espacio de medida tal que$\mu(X)=1$. Deje$f \in L^{p}(X)$ para$1<p<\infty$ y$t\in \mathbb{R}$ tal que$0<t<\|f\|_{1}$. Luego, para$q \in\mathbb{R}$ tal que$1/q+1/p=1$ tenemos:

\begin{equation} \mu(\{x:|f(x)|\geq t\}) \geq \bigg(\frac{\|f\|_{1}-t}{\|f\|_{p}}\bigg)^{q} \end{equation}

¿Podría por favor darme una pista sobre cómo probar esto? Gracias.

Answer 1

Dejar $g=\mathbb{I}(|f| \geq t)$. \begin{align*} \|fg\|_1 &\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q} & \text{Holder's inequality} \\ \|g\|_q &\geq \frac{\|fg\|_1}{\|f\|_{p}} \\ \mu(x: |f(x)| \geq t))^{q^{-1}} &\geq \frac{\int_{|f| \geq t}|f(x)|d\mu}{\|f\|_{p}} \\ \mu(x: |f(x)| \geq t)) &\geq \left(\frac{\int_{X}|f(x)|d\mu-\int_{|f| < t}|f(x)|d\mu}{\|f\|_{p}}\right)^{q} \\ \mu(x: |f(x)| \geq t)) &\geq \left(\frac{\|f\|_1-\int_{|f| < t}|f(x)|d\mu}{\|f\|_{p}}\right)^{q} \\ \mu(x: |f(x)| \geq t)) &\geq \left(\frac{\|f\|_1-t\mu(x: |f(x)| < t)}{\|f\|_{p}}\right)^{q} \\ \mu(x: |f(x)| \geq t)) &\geq \left(\frac{\|f\|_1-t}{\|f\|_{p}}\right)^{q} & \mu(X)=1 \end{align*}