Demuestre que un quártico de plano liso nunca es hiperelíptico

Question

Se me ha pedido que muestre que un quártico de plano liso nunca es hiperelíptico. Sé que i) El género de una curva de este tipo es 3 ii) Las declaraciones de Riemann-Roch y Riemann-Hurwitz iii) Una curva es hiperelíptica si hay un mapa de grado 2 desde P1.

¿Puedo tener una pista sobre qué hacer por favor? Aclamaciones.

Answer 1

Basta con mostrar que la curva quártica plana$C$ es una curva canónica. Usando fórmula adjunta,$K_C=i^*_C(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-3)\otimes\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(4))=i_C^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$. Entonces,$i_C: C\hookrightarrow\mathbb{P}^2$ es una inserción canónica.

Answer 2

Una más elemental forma de verlo es que si $f(x,y)=0$ es un afín ecuación para un buen proyectiva del plano de la curva de $X$ grado $d\geq3$, luego $$\left\{\frac{x^ry^sdx}{\partial f/\partial y}:0\leq r+s\leq d-3\right\}$$ es una base para la holomorphic formas diferenciales de $X$. Por lo tanto, la canónica mapa de $X\to\mathbb{P}^{g-1}$ donde $g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}$ es el género de $X$ puede ser visto como el mapa de $[x:y:1]\mapsto[x^ry^s:0\leq r+s\leq d-3]$. En su caso al $d=4$, este mapa es exactamente (después de un posible reordenamiento) $[x:y:1]\mapsto[x:y:1]$; es decir, la identidad.

Ahora a probar los hechos anteriores y utilizar esto para mostrar que la curva no puede ser hyperelliptic.

Answer 3

Este es el ejercicio IV.3.2 en Hartshorne. Hay dos pasos principales:

1. Demuestre que los divisores canónicos efectivos son secciones de hiperplano. (Sugerencia:$X$ es una intersección completa.)
2. Muestre que si$D$ es un divisor efectivo, grado$2$, entonces$\dim |D| = 0$. (Sugerencia: considere la línea a través de los dos puntos en el soporte de$D$, o la línea tangente si$D = 2P$. Use el criterio de amplitud muy al principio del capítulo combinado con # 1.)

Answer 4

Gracias a todos, he sido capaz de responder a esta ahora, sobre la base de las sugerencias de bothe Robert y Andrew. Mi estrategia fue:

1. Cita el siguiente teorema: Una suave curva proyectiva $V$ de género $g>1$ no es hyperelliptic si la canónica mapa de $f: V \mapsto P^{g-1}$ es una incrustación.

2. Observar que $K_v$ en este caso es $(d-3)H$ para algunos hyperplane $H$ por lo que el sistema lineal $L(K_V)$ base ${1, X1/X0, X2/X0}$, el género de la curva 3. Esto induce a una de morfismos en $P^2$, lo que es visto esencialmente en ser la identidad, por lo que estamos hecho por el teorema de la parte 1.