Continuidad, derivados de la función racional.

Question

Estoy estudiando la continuidad de una función y sus derivados comprobar si la función es continua, diferenciable y el cálculo de algunos de sus derivados. La función es

\begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}& \text{if }\, (x,y)\neq 0\\ 0& \text{if}\,\, (x,y)=0 \end{casos}

Me piden para el estudio de la continuidad en $(0,0)$.

Mi trabajo:

Me puse a revisar el límite de la función para $(x,y) \rightarrow (0,0)$ y se considera a la transformación en coordenadas polares para obtener una más fácil límite:

$$\lim_{\rho\rightarrow 0} \frac{\rho^3\cos^2\theta \sin\theta}{\rho^2}=\lim_{\rho\rightarrow 0} \rho \cos^2\theta \sin\theta=0$$
Así que me puse la continuidad.

Entonces se me ha pedido para estudiar el valor de las derivadas parciales en a $(0,0)$ y las derivadas direccionales en $(0,0)$ calculado en $y=x$.

He calculado los derivados de:

$f_x=\dfrac{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}$, esto no se define en $(0,0)$ por lo que se considera el límite de uso de coordenadas polares de nuevo, y me dieron:
$$\lim_{\rho\rightarrow 0} \frac{2\rho^4 \cos\theta \sin^3\theta}{\rho^4}=2\cos\theta \sin^3\theta$$

¿Es lo correcto? ¿Qué puedo decir ahora acerca de este límite?
El valor de los derivados en este punto se supone que ser $0$ según la solución que se dio, pero estoy atascado en este punto.

Además de $f_y=\dfrac{x^4-x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}$, desde que llego a la misma clase de problema (de nuevo los valores que se supone ser $0$)

Finalmente, las derivadas direccionales: he utilizado la definición y tengo:

el vector de dirección es$(\sqrt2/2;\sqrt2/2)$$f(0,0)=0$, por lo que

$$\lim_{t\rightarrow 0} \frac{f(\frac{\sqrt2}{2}t;\frac{\sqrt2}{2}t)-0}{t}=\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}t^2\cdot\frac{\sqrt2}{2}t}{\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}t^2}\cdot\frac{1}{t}=\frac{\frac{\sqrt2}{4}t^3}{t^2}\cdot\frac{1}{t}=\frac{\sqrt2}{4}$$

No tengo idea de cómo terminar la discusión de las dos primeras derivadas y entonces, ¿cómo comprobar si la función es diferenciable en el punto de $(0,0)$

Answer 1

Para trabajar $\mathrm{f}_x$ usted necesita para utilizar el límite de la definición:

$$\left.\frac{\partial\mathrm{f}}{\partial x}\right|_{x=y=0} = \lim_{h \to 0} \ \frac{\mathrm{f}(h,0) - \mathrm{f}(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0}\ \frac{0-0}{h} = 0$$

Para encontrar la derivada parcial $\mathrm{f}_y(0,0)$ usted necesita para encontrar el límite de

$$\left.\frac{\partial\mathrm{f}}{\partial y}\right|_{x=y=0} = \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}(0,h)-\mathrm{f}(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \ \frac{0-0}{h} = 0$$

A ver si $\mathrm{f}$ es diferenciable en a$x=y=0$, entonces tenemos que mostrar que $z=\mathrm{f}(x,y)$ es bien aproximada por un avión cerca de $x=y=0$. Desde $\mathrm{f}(0,0)=\mathrm{f}_x(0,0) = \mathrm{f}_y(0,0) = 0$, entonces el único candidato para este avión es $z=0$. A ver si $z=\mathrm{f}(x,y)$ se aproxima por el avión $z=0$ tenemos que mostrar que

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\mathrm{f}(x,y)-(0x+0y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$$

Este es el momento ideal para utilizar coordenadas polares: $x=r\cos\theta$$y=r\sin\theta$. Tenemos que mostrar

$$\lim_{r \to 0} \ \frac{\mathrm{f}(r\cos\theta,r\sin\theta)-(0x+0y)}{\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}} = 0$$

Podemos simplificar esta bastante considerable:

$$\lim_{r \to 0} \ \frac{\mathrm{f}(r\cos\theta,r\sin\theta)}{r} = \lim_{r \to 0} \frac{r\cos^2\theta\sin\theta}{r} = \cos^2\theta\sin\theta$$

Este límite depende de la $\theta$, lo que significa que no es la única. Ya que el límite no está bien definida, se deduce que el $\mathrm{f}$ no es diferenciable en a $x=y=0$. He adjuntado una foto de abajo que muestra la superficie de $z=\mathrm{f}(x,y)$ y el avión $z=0$. Aviso de lo malo de un trabajo el avión hace ser tangente a la superficie en el origen. La línea azul es la línea de $z=\mathrm{f}(0,y)$, la línea verde es $z=\mathrm{f}(x,0)$ y la línea roja es $z=\mathrm{f}(t,t)$.

Answer 2

Volar por la Noche dice que el uso de las reglas estándar de la diferenciación "no está permitido" para derivadas parciales. No estoy seguro exactamente lo que él/ella se refiere; sin embargo, en su caso, usted todavía puede utilizar su enfoque en el cálculo de los valores de $f_x$$f_y$, y quería explicar cómo.

A partir de esta pregunta, usted sabe que la derivada parcial $f_x(0,0)$ es igual al límite de$f_x(0,h)$$h \to 0$, con la importante salvedad de que ese límite existe. Pero como se calcula la derivada parcial $f_x$ todas partes, excepto $0$ está dado por $$ 2 \cos \theta \sin^3 \theta $$ Ahora, el problema es donde se toma el límite de $\rho \to 0$. De hecho, usted no debe estar tomando el límite en $\mathbb{R}^2$, pero en lugar usted necesita tomar el límite a lo largo de la línea de $\boldsymbol{y=0}$. Esto es debido a que la definición de la derivada parcial se toma con las otras variables se mantiene constante, por lo que en el cómputo de $f_x$ a $(0,0)$, $y$ se mantiene fijo en $0$. Entonces, ¿qué me estoy refiriendo? Además, usted debe tomar las $\rho \to 0$, $\boldsymbol{\theta = 0 \textbf{ or } \pi}$ al mismo tiempo. Por lo tanto usted tiene $$ f_x(0,0) = \lim_{\rho \to 0}_{\theta = 0, \pi} 2 \cos \theta \sin^3 \theta = 0. $$ Del mismo modo, se puede calcular la derivada parcial $f_y$ tomando el límite con $\theta = \pm \pi/2$, y con la importante salvedad de que este límite existe. \begin{align*} f_y(0,0) &= \lim_{\rho \to 0}_{\theta = \pm \pi/2} \frac{x^4-x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} \\ &= \lim_{\rho \to 0}_{\theta = \pm \pi/2} \frac{\rho^4 \cos^2 \theta (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)}{\rho^4} \\ &= \lim_{\rho \to 0}_{\theta = \pm \pi/2} \cos^2 \theta \cos (2\theta) = 0. \\ \end{align*}

En resumen,

1. Las reglas estándar de la diferenciación de hacer el trabajo (en algún sentido) para las derivadas parciales, debido a que una derivada parcial es sólo un derivado con algunos variable se mantiene constante.

2. Si el límite de $h$ $0$ $f_x(x + h, y)$ existe, entonces la derivada parcial $f_x(x,y)$ existe y es igual al límite. Asimismo, para $f_y$.

3. (Esto es lo importante yo creo que le faltaban) La derivada parcial $f_x$ es tomado con $y$ mantiene constante, y la derivada parcial $f_y$ es tomado con $x$ mantiene constante. En particular, estos no son realmente los límites tomado en $\mathbb{R}^2$, pero en lugar de límites tan sólo una variable va a $0$. Y cuando se cambia a coordenadas polares y se desea calcular las derivadas parciales en $(0,0)$, lo que significa que el ángulo se toma para tener sólo dos fijos posibilidades como $\rho \to 0$.