¿Cuál es la ecuación del grupo ortogonal (como variedad/manifold)?

Question

Últimamente he estado estudiando algo de teoría de Lie elemental, así que he estado pensando en los grupos de matrices como colectores. La mayoría de los ejemplos sencillos de colectores que aprendemos en el instituto o la universidad son incluso soluciones a ecuaciones algebraicas (por ejemplo, secciones cónicas), es decir, variedades algebraicas.

Esto me llevó a pensar (que es también mi pregunta):

¿Es el grupo ortogonal también un colector que es la solución de alguna ecuación polinómica multivariable? Si es así, ¿cuál es?

Respuesta propuesta:

Si $X$ denota el $n \times n$ matriz de valor real cuyo $ij$ es el monomio/variable $x_{ij}$ .

Entonces el grupo ortogonal es el conjunto cero del sistema de ecuaciones polinómicas (en $n^2$ variables):

$$X^T X - I_n = 0$$

¿Es realmente la respuesta? Parece demasiado tonto para ser posible. Por otra parte, nunca había pensado en una colección completa de matrices como el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones multilineales.

Consulte esto implica que los determinantes de estas matrices son $\pm 1$ por la propiedad multiplicativa de los determinantes.

Consulte para el caso $n=1$ tenemos $$x^2 -1 = 0 \implies x = \pm 1$$ que es O(1) como es necesario/esperado.

Consulte para el caso $n=2$ tenemos $$\begin{bmatrix} x_1 & x_3 \\ x_2 & x_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 0 \implies \begin{array}{c} x_1^2 + x_3^2 = 1 \\ x_1x_2 + x_3x_4 = 0 \\ x_2 x_1 + x_4 x_3 = 0 \\ x_2^2 + x_4^2 = 1 \end{array}$$ Sé que O(2) tiene dos componentes de trayectoria, cada una de las cuales es difeomorfa a SO(2), que es simplemente el círculo unitario, y la solución de este sistema de ecuaciones sugiere la unión disjunta de dos círculos unitarios debido a las ecuaciones $x_1^2 + x_3^2 =1$ y $x_2^2 + x_4^2=1$ Sin embargo, no estoy seguro de cómo interpretar la condición auxiliar de que $$x_1 x_2 = -x_3x_4$$ ¿garantiza esto que los círculos son disjuntos de alguna manera? Si no, no estoy seguro de que esta ecuación me dé la respuesta correcta para el caso $n=2$ .

Answer 1

$f(X)=X^TX-I=0$ es una ecuación algebraica implícita de $O(n)$ (hay $n(n+1)/2$ distintas ecuaciones en el $n^2$ verdaderas incógnitas $(x_{i,j})_{i,j}$ ). En consecuencia, $O(n)$ es una variedad algebraica real de dimensión $\geq n^2-n(n+1)/2=n(n-1)/2$ . Desde $O(n)$ es un grupo, para obtener su dimensión, basta con considerar el núcleo de la derivada de $f$ en $I$ ; $Df_I:H\rightarrow H^T+H$ , $\ker(Df_I)=SK_n$ es el conjunto de matrices simétricas sesgadas, un espacio vectorial de dimensión $n(n-1)/2$ ; conclusión: $dim(O(n))=n(n-1)/2$ .

Desde el punto de vista topológico, $O(n)$ es complicado; tiene $2$ componentes conectados $SO(n),O^-(n)$ que son difeomorfos algebraicamente ( $X\in O^-(n)\rightarrow Xdiag(-1,1,\cdots,1)\in SO(n)$ ); tenga en cuenta que $SO(n)$ es un grupo y $O^-(n)$ no lo es. En esta sección sólo consideramos $SO(n)$ . Tenga en cuenta que $SO(n)$ no está simplemente conectado; sin embargo $SO(2)=S^1$ ( $S^1$ puede ser cubierto por (desenrollado en la forma de) el simplemente conectado $\mathbb{R}$ de dimensión $1$ ); $SO(3)=RP^3$ el espacio proyectivo real (puede ser cubierto por el espacio simplemente conectado $S^3$ de dimensión $3$ ); $SO(4)$ puede ser cubierto por la conexión simple $S^3\times S^3$ de dimensión $6$ .

Eliminar una parte de $SO(n)$ podemos trivializarlo. Sea $U=\{X\in SO(n)|X+I$ es singular $\}$ . Entonces la transformada de Cayley https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_transform

$K\in SK_n\rightarrow (I-K)(I+K)^{-1}\in SO(n)\setminus U$ es una parametrización algebraica de $SO(n)\setminus U$ . En otras palabras, $SO(n)\setminus U$ es plana. Lo que se complica es la reinserción de $U$ en $SK_n$ .