Subvariedad de Producto de Curvas Elípticas

Question

Esto es casi seguro que se sabe (y tal vez está escrito en alguna parte?). ¿Hay un ejemplo de dos curvas elípticas$C, E/k$ que no son isomorfas, pero hay un$C\hookrightarrow E\times E$ incrustado como una subvariedad abeliana?

Si esto se sabe, ¿hay alguna referencia que habla de tales cosas?

Answer 1

Dando un morfismos $C \to E\times E$ es lo mismo que dar un par de morfismos $p,q: C \to E$, por la definición del producto. Traducir $p$ $q$ adecuadamente por algunos puntos de $E$, no es ninguna pérdida de generalidad asumir que $p$ $q$ ambos toman el origen de $C$ a el origen de las $E$, y, por tanto, no sólo son morfismos de curvas, pero homomorphisms de curvas elípticas.

El mapa de $C \to E \times E$ será inyectiva si y sólo si $ker(p) \cap ker(q) = 0$.

Ahora si $q^{\vee}$ denota el doble de $q$, $q^{\vee}\circ p$ es un endomorfismo de $C$. Si $C$ (equivalentemente, $E$) no es CM, entonces esta será la multiplicación por un número entero $n$, en cuyo caso nos encontramos (componiendo con $q$) que $\deg(q) p = n q$, y un breve argumento muestra que, en realidad, es una de morfismos $r: C \to E$ tal que $p = m r$ $q = n r$ para algunos enteros $m$$n$. Si $ker(p)\, $ $ker(q)\, $ han trivial intersección, se sigue que $r$ debe ser un isomorfismo, por lo que el $C \cong E$.

Por otro lado, si $E$ tiene CM, entonces la situación de preguntar acerca de puede ocurrir. El caso más fácil es asumir que el $E$ $C$ ambos han CM por el pleno del anillo de enteros $\mathcal O$ en algunos imag. quad. campo de $K$, pero no son isomorfos (lo cual es posible iff $K$ tiene clase número mayor que uno). A continuación, $Hom(C,E)$ $\mathcal O$- módulo, invertible (es decir, localmente libre de rango uno), pero no gratis. Un módulo puede siempre ser generado por dos elementos. Si tomamos $p$ $q$ a ser un par de generadores, entonces van a incrustar $C$ a $E\times E$.

Si $E$ CM por un campo de la clase número uno, luego el mismo tipo de construcción, debe ser posible, creo, por la elección de $C$ que han CM por alguna orden de $K$ no triviales número de la clase.

Answer 2

Por el Poincaré Completa Reducibilidad Teorema, la isogeny categoría de abelian variedades a través de un campo arbitrario es semisimple.

Y ahora, con más palabras: si $A_{/k}$ es un abelian variedad, entonces:

(i) No son simples abelian variedades (es decir, sin la debida, no trivial abelian subvariedades) $B_1,\ldots,B_k$ tal que $A \sim B_1 \times \ldots B_k$, donde la relación $\sim$ denota $k$-racional isogeny. (Un isogeny $f: A \rightarrow B$ de abelian variedades es un surjective algebraicas grupo homomorphism con finito del núcleo.)
(ii) La isogeny clases de la $B_i$'s se determina únicamente: si $C$ es cualquier abelian subvariedad de $A$, $C$ $k$- racionalmente isogenous a una suma directa de $B_i$'s.

Aplicando este resultado a la pregunta, encontramos que de todas las opciones posibles para una curva elíptica $C$ dentro $E \times E$ están contenidos en el conjunto de curvas elípticas $k$-racionalmente isogenous a $E$. Por ejemplo, si $k = \mathbb{C}$, este será un countably conjunto infinito. Tenga en cuenta que podemos tener un número finito de morfismos $C \rightarrow E \times E$, pero no una incrustación. El estudio de abelian subvariedades en el sentido estricto, es decir, no está a la isogeny -- es significativamente más complicado.