¿Desea $ \left\lceil \frac {1}{n} \right\rceil\to 0$ o $1$ como $n \to\infty ?$

Question

Creo que el límite es $1$ porque $ \left\lceil \frac {1}{n} \right\rceil =1$ para todos $n$ pero parece ser contraintuitivo por alguna razón. Si toscamente "reemplazamos $n$ con $ \infty $ "tenemos $ \lceil 0 \rceil =0$ (también, si fuera $0$ No veo la forma de probarlo).

¿Esto se debe al carácter discontinuo de $ \lceil x \rceil ?$

Answer 1

Estás exactamente en lo cierto, el límite es $1$ porque la secuencia es constante. El límite de $ \left\lceil - \frac {1}{n} \right\rceil $ como $n \to\infty $ es $0$ y esto demuestra la discontinuidad de $ \lceil x \rceil $ .

Si el límite fuera $0$ la secuencia tendría que ser arbitrariamente pequeña como $n$ aumentaron. Así que, por ejemplo, debería haber algún $n$ de tal manera que $ \left\lceil\frac {1}{n} \right\rceil < \frac {1}{2}$ pero no lo hay, porque $ \left\lceil\frac {1}{n} \right\rceil =1$ para todos $n$ .