Dejemos que $n$ sea un número entero tal que si $d | n$ entonces $d + 1 | n + 1.$ Demuestra que $n$ es un número primo

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero tal que para cualquier número entero $d$ , si $d | n$ entonces $d + 1 | n + 1$ .

Demuestra que $n$ es un número primo o igual a $1$

Mi entrenamiento...

Supongamos que $n = xy$ para algunos enteros positivos $x$ y $y. x|n$ y por lo tanto suponga que sin pérdida de generalidad $x + 1|n + 1.$

Entonces $x|xy + 1$ .
Sin embargo, $xy + x$ es divisible por $x$ .

Esto implica $x 1$ es divisible por $x$ , que es una imposibilidad si $x$ no es igual a $1$ . Por lo tanto, siempre que $n$ se descompone en dos factores, uno debe resultar ser $1$ . Por lo tanto, $n$ debe ser un primo.

Estoy buscando cualquier otro método que resuelva esto rápidamente y más rápidamente...

Answer 1

Puedes demostrar que todo número compuesto $n$ desobedece la afirmación "si $d$ divide $n$ entonces $d+1$ divide $n+1$ . Digamos que $n=ab$ para algunos números $a,b\ge2$ con $a\ge b$ . Entonces $a$ divide $n$ pero $a+1$ no divide $n+1$ . Para ver esto, observe $n+1=(a+1)b-b+1$ para que el resto de $n+1$ dividido por $a+1$ es $1-b$ . Pero $1-b$ no es congruente con $0$ modulo $a+1$ observando que $1-b\lt 0$ y $1-b+(a+1)=a-b+2\gt 0$ .

Answer 2

Supongamos que $d\mid n$ y $d+1\mid n+1$ .

Supongamos que $d\ne1$ y $d\ne n$ . Si $d^2\lt n$ podemos utilizar $\frac{n}{d}$ en lugar de $d$ para conseguir que $d\lt n$ y $d^2\ge n$ . Entonces $$ \begin{align} \frac{n}{d}-\frac{n+1}{d+1} &=\frac{n-d}{d(d+1)}\\[3pt] &\in(0,1) \end{align} $$ Sin embargo, si ambos $\frac{n}{d}$ y $\frac{n+1}{d+1}$ son enteros, su diferencia debe ser un entero, y tenemos una contradicción. Por lo tanto, tenemos $d=1$ o $d=n$ .

Ya que para cada $d$ para que $d\mid n$ tenemos $d+1\mid n+1$ debemos tener que para cada $d$ para que $d\mid n$ , ya sea $d=1$ o $d=n$ . Por lo tanto, $n$ es primo.