Estoy leyendo el libro de Daniel Marcus sobre Campos Numéricos y me he atascado en la demostración del Teorema $15$ , Capítulo $3$ .
Teorema 15 : Sea $I$ sea un ideal no nulo en un dominio Dedekind $R$ . Entonces existe un ideal distinto de cero $J$ tal que $IJ$ es principal.
Antes de desarrollar la prueba, Marcus demuestra dos lemas:
Lema 1 : En un dominio Dedekind, cada ideal distinto de cero contiene un producto de ideales primos distintos de cero.
Lema 2 : Sea $A$ sea un ideal propio no nulo en un dominio Dedekind $R$ con campo de fracciones $K$ . Entonces hay un elemento $\gamma \in K\setminus R$ tal que $\gamma A\subset R$ .
Entonces la demostración del Teorema 15 comienza por
Sea $\alpha$ sea un miembro no nulo de $I$ y que $J=\left \{\beta \in R:\beta I\subset \left (\alpha\right )\right \}$ . Entonces $J$ se ve fácilmente que es un ideal (no nulo ya que $\alpha \in J$ ) y claramente $IJ\subset \left (\alpha\right )$ . Demostraremos que la igualdad se mantiene.
Consideremos el conjunto $A=\frac{1}{\alpha}IJ$ . Esta información figura en $R$ (recordar $IJ\subset \left (\alpha\right )$ ), y de hecho $A$ es un ideal (verifícalo). Si $A=R$ entonces $IJ=\left (\alpha\right )$ y hemos terminado; de lo contrario $A$ es un ideal propio y podemos aplicar el Lemma 2. Por lo tanto $\gamma A\subset R$ , $\gamma \in K\setminus R$ . De aquí obtendremos una contradicción. Puesto que $R$ es integralmente cerrado en $K$ basta con demostrar que $\gamma$ es una raíz de un polinomio mónico sobre $R$ .
Observe que $A=\frac{1}{\alpha}IJ$ contiene $J$ desde $\alpha \in I$ Así pues $\gamma J\subset \gamma A\subset R$ . De ello se deduce que $\gamma J\subset J$ ; para ver por qué esto es cierto volvamos a la definición de $J$ y utilizar el hecho de que $\gamma J$ y $\gamma A$ están ambos contenidos en $R$ .
En este punto me quedé atascado. No puedo ver por qué $\gamma J\subset J$ .
