Cómo probarlo: $S=\frac{4}{3}\sqrt{ m(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}$

Question

Si $$m_a, m_b, m_c$$ son las medianas de un triángulo y sea $$m=\frac{m_a+ m_b+ m_c}{2}$$ entonces Área $S$ del triángulo viene dada por $$S=\frac{4}{3}\sqrt{ m(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}$$ Esto se parece mucho a la fórmula de Heron. ¿Cómo probar esta fórmula?

Answer 1

$$S=\frac{4}{3}\sqrt{ m(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}$$ $$ =\frac{4}{3}\sqrt{ \frac{(m_a+m_b+m_c)}{2}\frac{(-m_a+m_b+m_c)}{2}\frac{(m_a-m_b+m_c)}{2}\frac{(m_a+m_b-m_c)}{2}}$$ $$ =\frac{1}{3}\sqrt{(m_a+m_b+m_c)(-m_a+m_b+m_c)(m_a-m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)}$$ $$ =\frac{1}{3}\sqrt{[(m_a+m_b)^2-m_c^2] [m_c^2-(m_b-m_a)^2] } $$ $$ =\frac{1}{3}\sqrt{-[(m_a+m_b)(m_b-m_a)]^2+m_c^2(m_a^2+m_b^2)+m_c^2(m_b^2-m_a^2)-m_c^4}$$ $$ =\frac{1}{3}\sqrt{-[m_b^2-m_a^2]^2+m_c^2(m_a+m_b)^2+m_c^2(m_b-m_a)^2-m_c^2}$$ $$ =\frac{1}{3}\sqrt{2(m_a^2m_b^2+m_b^2m_c^2+m_c^2m_a^2)-(m_a^4+m_b^4+m_c^4)}$$ Ahora sustituyendo $m_a$ , $m_b$ , $m_c$ respectivamente con $\frac{1}{2}\sqrt{2c^2+2b^2-a^2}$ , $\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}$ , $\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$

Llegarás a la Fórmula de la Garza:

$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

EDITAR

Prueba para $m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2c^2+2b^2-a^2}$ : Supuestos: $BC = a$ , $AC = b$ , $AD = DE = m_a$ y $AB = c$

Del teorema del coseno, tenemos:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos A$$ Ahora, en el triángulo ABE (ya que ACD es congruente con EBD);

$$4m_a^2 = AE^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(\pi - A)$$ $$a^2 + m_a^2 = 2(b^2 + c^2) - 2[bc*cos A + bc*cos(\pi - A)]$$

o,

$$2m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$$

Por lo tanto,

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} $$

Answer 2

Aquí se ofrece una forma sencilla de demostrarlo sin necesidad de hacer muchos cálculos: http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Medians.Triangle/Area.Medians.Tri.html