PS
No estoy realmente cómodo con más de 1 sigma y es por eso que esta pregunta me confunde. No creo que sea posible reducir el número de variables a 1 aquí.
La respuesta es $$\sum_{a=1}^{\infty}\sum_{b=1}^{\infty}\frac{ab}{(a+b)!}$
Respuestas
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Como todos los términos en la suma no son negativos, se puede cambiar arbitrariamente el orden de la suma sin cambiar el valor de la suma. En particular, podemos agrupar términos con el mismo valor de$k = a + b$ y sumarlos primero. Observe $$ \ sum_ {a + b = k, a, b \ ge 1} ab = \ sum_ {a = 1} ^ {k-1} a (ka) = k \ frac {(k-1) k} {2} - \ frac {(k-1) k (2k-1)} {6} = \ frac {(k-1) k (k +1)} {6} $$ Tenemos $$ \begin{align} \sum_{a=1}^\infty\sum_{b=1}^\infty \frac{ab}{(a+b)!} &= \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!}\sum_{a+b=k, a, b \ge 1}ab = \frac16 \sum_{k=2}^\infty \frac{(k-1)k(k+1)}{k!}\\ &= \frac16 \sum_{k=2}^\infty \frac{k+1}{(k-2)!} = \frac16 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+3}{k!} = \frac16 \left( \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k-1)!} + \sum_{k=0}^\infty \frac{3}{k!}\right)\\ &= \frac16(e+3e) = \frac23 e \end {align} $$
martinhans
Puntos
131
Dejar $a+b=n$.
$$ \begin{align} \sum_{a=1}^\infty\sum_{b=1}^\infty\frac {ab}{(a+b)!} &=\sum_{n=2}^\infty\sum_{a=1}^{n-1}\frac {a(n-a)}{n!}\\ &=\sum_{n=2}^\infty\frac n{n!}\sum_{a=1}^{n-1}a-\sum_{n=2}^\infty\frac 1{n!}\sum_{a=1}^{n-1}a^2\\ &=\sum_{n=2}^\infty \frac 1{(n-1)!}\frac {n(n-1)}2-\sum_{n=2}^\infty \frac 1{n!}\frac 16 (n-1)n(2n-1)\\ &=\frac 16 \sum_{n=2}^\infty \frac 1{(n-2)!}\left[3n-(2n-1)\right]\\ &=\frac 16\sum_{n=2}^\infty \frac {n+1}{(n-2)!}\\ &=\frac 16\sum_{n=2}^\infty \frac {n-2+3}{(n-2)!}\\ &=\frac 16\sum_{n=2}^\infty\frac 1{(n-3)!}+\frac 3{(n-2)!}\\ &=\frac 16(e+3e)\\ &=\color{red}{\frac 23e}\end {align} $$
