Se denota el $n$ésimo término de la serie de números con $F_n$. Suponga que $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Con la simulación, he encontrado el siguiente relación entre el número Fibonacci y la sección áurea $$ \mid \frac{F_{n+1}}{F_{n}}-\alpha\mid \, \approx \, \frac{1}{(F_n)^2}~. $$ Hay un método analítico que podemos prueba de la citada fórmula. Les agradecería mucho a cualquier sugerencia.
Edit: en Primer lugar quiero gratitud de Milo Brandt para bonita respuesta. De continuar, quiero generalizar a mi pregunta.
Uno de los más importantes de la generalización de la clásica serie de Fibonacci es la de Fibonacci $p$-paso de los números que se define como sigue $$ \begin{equation}\label{cp26} F_n^{(p)}=F_{n-1}^{(p)}+F_{n-2}^{(p)}+\cdots+F_{n-p}^{(p)}\, . \end{equation} $$ Con las condiciones de contorno $$ F_{0}^{(p)}=0\quad \quad F_{1}^{(p)}=0\quad\, \cdots\, ,\quad F_{p-2}^{(p)}=0\quad \quad F_{p-1}^{(p)}=1\, . $$
Podemos obtener el valor límite de Fibonacci $p$-números de paso por la inversa de la solución de la ecuación de $x^{p+1}-2\, x+1=0$ en el intervalo de $(0,1)$. Denotamos el valor límite de Fibonacci $p$-números de paso con $\alpha_p$. De hecho, $\alpha_p$ se define de la siguiente forma $$ \alpha_p=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}\quad \frac{F^{(p)}_{n+1}}{F^{(p)}_{n}}~. $$ La generalización de la fórmula anterior es $$ \mid \frac{F^{(p)}_{n+1}}{F^{(p)}_{n}}-\alpha_p\mid \, \approx \, {F^{(p)}_{n}}^{-{\displaystyle{(\frac{p}{p-1})}}}~. $$
Por ejemplo, para el caso de $p=4$, tenemos
