Esperanza condicional: $E[A \mid B] = B$ $E[B \mid A] = A$ implica $A = B$

Question

Dadas dos $L^1$ variables aleatorias $A$, $B$ la satisfacción de $E[A \mid B] = B$, $E[B \mid A] = A$. El reclamo es que el $A = B$. Así que es así de fácil? Yo realmente no lo veo.. Si $A$$B$$L^2$, es claro, para, a continuación,$E[AB] = E[A^2] = E[B^2]$, lo $E[(A-B)^2] = 0$. Se puede ahora utilizar una aproximación argumento?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

No hay ninguna aproximación argumento (que yo sepa) que permite deducir el caso general de la $L^2$ de los casos. En su lugar, debemos volver a la definición de condicional expectativas y tenga en cuenta que $A\leqslant B$ casi seguro que si y sólo si los eventos $$ C_x=[A>x\geqslant B] $$ tienen probabilidad cero para cada número real $x$, o lo suficientemente muchos de los valores de $x$. Aquí está una prueba a lo largo de estas líneas.

En primer lugar recordar que el $\mathrm E(A|B)=B$ significa que $\mathrm E(Au(B))=\mathrm E(Bu(B))$ (al menos) de cada acotado medible función de $u$. Del mismo modo, $\mathrm E(B|A)=A$ significa que $\mathrm E(Bv(A))=\mathrm E(Av(A))$ (al menos) de cada acotado medible función de $v$. En particular, para cada número real $x$, $$ \mathrm E(a;B\leqslant x)=\mathrm E(B, B\leqslant x),\qquad \mathrm E(B;A>x)=\mathrm E(a;A>x). $$ Siguiente, introducir los eventos $$ D_x=[A> x,B> x],\qquad F_x=[A\leqslant x,B\leqslant x]. $$ A continuación, $[B\leqslant x]=C_x\cup F_x$ $[A>x]=C_x\cup D_x$ y tanto estas uniones disjuntas de ahí $$ \mathrm E(a-B;C_x)+\mathrm E(a-B;F_x)=0=\mathrm E(a-B;C_x)+\mathrm E(a-B;D_x). $$ Resumiendo estas dos igualdades y usando el hecho de que $\mathrm E(A-B;C_x)\geqslant0$ porque $A-B>0$$C_x$, se obtiene $$ \mathrm E(a-B;D_x\copa F_x)\leqslant0. $$ La hipótesis que comenzó a partir de es simétrica con respecto a $(A,B)$ por lo tanto la conclusión anterior se sostiene si se reemplaza $(A,B)$$(B,A)$. A continuación, $A-B$ hace $B-A$ $D_x$ $F_x$ no cambie. Esto demuestra que $\mathrm E(B-A;D_x\cup F_x)\leqslant0$, por lo tanto $\mathrm E(A-B;D_x\cup F_x)=0$, lo que implica $$ \mathrm E(a-B;C_x)=0. $$ Pero $A>B$ casi seguramente en $C_x$, por lo tanto la variable aleatoria $(A-B)\mathbf{1}_{C_x}$ es casi seguramente no negativo. Esto demuestra que el evento $[A>B]\cap C_x=C_x$ tiene probabilidad cero.

Ahora, el caso de $[A>B]$ es el contable de la unión de los eventos $C_x$ sobre los números racionales $x$, por lo tanto $[A>B]$ tiene probabilidad cero. Por simetría, el evento $[A<B]$ tiene probabilidad cero, por lo $A=B$ casi seguramente.