La fórmula de este mapa?

Question

Como usted sabe, la imagen de abajo es uno de M. C. Escher.

He pensado mucho acerca de lo que sería la norma de la función de dibujado sobre la superficie de la esfera? Es una $\mathbb R\rightarrow\mathbb R^3$ o $\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^3$ función? Sinceramente, la idea de que él dibujó ahora es nuevo y no creo que sus obras estén desactualizados nunca. Gracias por compartir tu conocimiento acerca de este gran foto conmigo. :)

Answer 1

Su fórmula es $$ f:D\to\mathbb{R}^3:(\phi\theta)\mapsto(\sin\theta\cos\phi\sin\theta\sin\phi\cos\theta) $$ donde $D=\{(\phi,\theta)\in[-\pi,\pi]\times[0,\pi]:\sin(4\phi+12\theta)>0\}$.

Aquí es un código de Mathematica

ParametricPlot3D[{Cos[\[Phi]] Sin[\[Theta]], 
  Sin[\[Theta]] Sin[\[Phi]], 
  Cos[\[Theta]]}, {\[Phi], -\[Pi], \[Pi]}, {\[Theta], 0, \[Pi]}, 
 RegionFunction -> (Sin[4 #4 + 12 #5] > 0 &), Mesh -> None, 
 BoundaryStyle -> Black]

y la gráfica

Answer 2

A mí me parece que las bandas se supone giro indefinidamente cuando se acercan a los polos (como se observa por Erick Wong). Ese efecto se consigue mediante el uso de loxodromes como las líneas de límite. El loxodromes son aproximadamente el esférico equivalentes de las espirales logarítmicas en que un loxodrome hace un ángulo constante con todas las latitudes que se cruza - muy parecida a la de las espirales logarítmicas que han constante ángulos entre la tangente y el radio.

El attaced imagen se genera por el uso de Mathematica. Yo solía $m=1/2$ (vea el enlace para ver el significado de este parámetro), así por ejemplo, una de las bandas fue generado por

ParametricPlot3D[{Cos[t+u]/Cosh[t/2],Sin[t+u]/Cosh[t/2],Tanh[t/2]},{t,-8,8},{ u,0,Pi/4},PlotPoints->{81,5}]

y las otras partes salió con la misma fórmula, pero el rango de la variable $u$ desplazado a un múltiplo entero de $\pi/2$. El rango de $t$ se debe ser simétrica, pero los extremos (en este caso $\pm8$) son, de nuevo, en gran parte, una elección arbitraria de la mina. Hice un cambio lineal de los parámetros para que en el Wikipage con el fin de asegurarse de que todos los loxodromes cubrir el mismo intervalo de latitudes, y también para hacer que la mitad de los bordes de los azulejos de tener una constante de la latitud.

Aquí está la imagen. Para obtener una mejor correspondencia con Escher pintura podría ser necesario ajustar el valor de $m$ más.

Para ver el "sin fin de torsión" aquí es un close-up de la región polar. La imagen es necesariamente muy plana ahora. La fórmula es la misma, pero el rango del parámetro $t$ ahora $4\le t\le 16$.

Edit: he Aquí una versión animada