La suma de más de dos números naturales consecutivos no puede ser primo.

Question

La suma de más de dos números naturales consecutivos no puede ser primo.

Es la declaración de la verdad y es allí cualquier manera de demostrarlo?

Yo era capaz de demostrar que la suma de una cantidad impar de números consecutivos no puede ser primo:

Así que, ya que la suma de números enteros consecutivos es $x+(x+1)+(x+2)+(x+3)$ etc... también podemos escribir esto como $$nx + n(n-1)/2 = n(x + (n-1)/2)$$ con $n$ como la cantidad de números e $x$ el primer número de la fila. Por lo tanto, con un número impar como $n\neq 1$, vamos a obtener un producto que nunca como resultado de una prima.

Cualquier forma de probar esto para todos los $n \ge 2$? Gracias por toda la ayuda.

Answer 1

Por una suma de tres o más enteros positivos consecutivos

$S = x + (x+1) + (x + 2) + ..... + (x + n -1)$ $x > 0; n > 2$

$S = (x + n-1) + (x+n - 1) + (x + n - 2) + ..... + (x + 1)+x$

Agregar 'em juntos.

$2S = (2x + n -1) + (2x + n-1) + .... (2x + n-1) = n(2x + n-1)$

Caso uno: $n$ es incluso. A continuación, $S=\frac n2(2x + n -1)$ no es primo como $n/2 > 1$ $2x + n - 1 > 2$

Caso 2: $n$ es impar. A continuación, $2x + n - 1$ es incluso y $S = n\frac{2x + n - 1}2$ que no es primo como $n > 1$$(2x + n - 1)/2 > 1$.

Que eran el 90% del camino. Simplemente se necesita para golpear con la pala un par de veces más.

Answer 2

Deje que nuestros suma que la $$p=nx+n (n+1)/2\qquad n>2$$ Si $n $ es impar, a continuación, $(n+1)/2$ es un número entero y podemos escribir $p=nk $, $k\in\mathbb {N} $ haciendo $p $ compuesto. Si $n $ es incluso, a continuación, $n/2=k'$ y podemos escribir $p $ $$p=k'(2x+[n+1])=k'd$$ $d\in\mathbb {N} $ lo $p $ compuesto. Tenga en cuenta que debemos tener $n>2$ porque de lo contrario algunos de nuestros factores que no se cuentan como factores en la toma de un número compuesto.

Answer 3

La suma es como usted dice $nx + n(n-1)/2$. Si $n$ es impar es un múltiplo de a $n$ como usted dijo.

Sin embargo, si $n$ es aún es un múltiplo de a $n/2$.