Lo que no puede ser calculado utilizando la densidad de la matriz?

Question

Digamos que tengo un compuesto sistema cuántico (SCC) en un (desconocido para mí) estado puro $\left|\Psi\right>$. Si un operador $\mathbf{A}$ sólo actúa sobre las variables de un subsistema (S) de SCC, entonces puedo calcular la expectativa de valor de la correspondiente observables como

$$ \bar{A} = \textrm{Tr} (\mathbf{\rho}_S \mathbf{A}) $$

donde $\mathbf{\rho}_S$ es una vista parcial de la densidad de la matriz de S (seguimiento a través de los otros subsistemas de la SCC). Puedo hacer esto para cualquier observable (que sólo actúa sobre la S).

Así que, si me limito a S ¿qué es lo que no se puede calcular usando $\mathbf{\rho}_S$ que me gustaría ser capaz de calcular si supiera $\left|\Psi\right>$? Parece que las cosas deben existir, de lo contrario me gustaría ser capaz de construir la función de onda S (es correcto?)

Answer 1

A continuación voy a explicar la manera de reconstruir una "función de onda" a partir de una matriz de densidad conocida venir de un estado puro. Sin embargo, su situación es diferente. Si $\rho$ es la matriz de densidad de una enredada estado puro de dos systemsn $S$$S'$, $\rho_S$ es la densidad de la matriz de un estado mixto de $S$, ver también esta pregunta y sus respuestas. Un estado mixto no tiene una única función de onda, por lo que la pregunta de si se puede reconstruir la función de onda no tiene sentido. Por diseño, si usted está interesado sólo en las características observables de $S$, $\rho_S$ contiene toda la información necesaria para que el parcial de seguimiento es la inversa de la operación de "combinar" los sistemas cuánticos, y si usted lo aplica a un no-enredados estado del sistema combinado que sólo da la espalda el correspondiente estado puro de la $S$, lo que, obviamente, contiene toda la información necesaria acerca de $S$.

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Que son capaces de construir la función de onda para una matriz de densidad de $\rho$ si usted sabe que se trata de un estado puro, que tiene una función de onda. O al menos, que son capaces de construir el sólo físicamente significativo de los contenidos de la función de onda:

Usted puede calcular la probabilidad de que el sistema se encuentra en una región $R\subset\mathbb{R}^n$ mediante el cálculo de la expectativa de valor de los asociados espectral proyector $P_R$ (que actúa en wavefunctions multiplicando con la función característica de a $R$; en no rigurosas idioma que usted puede pensar en esto como el operador que se proyecta en el espacio atravesado por la posición de autoestados con valores propios en $R$), y esto es lo que la función de onda es una densidad de probabilidad, que indica cómo es la probabilidad de que el sistema se encuentra en una región $R$ mediante la integración de la función de onda sobre él. Los valores de la función de onda en una sola puntos son físicamente irrelevante y por lo tanto, usted no debe esperar a ser capaz de recuperar - la función de onda es formalmente un representante de una clase de equivalencia de cuadrado integrable funciones en $L^2(\mathbb{R}^n)$, no solo una función cuyos valores en puntos individuales iba a llevar ningún sentido - todo lo que importa es lo que sucede cuando se integran en las regiones de la no-cero de la medida, y que la información es recuperable a partir de la matriz de densidad.

Answer 2

Así que, si me limito a S ¿qué es lo que no se puede calcular usando $\mathbf{\rho}_S$ que me gustaría ser capaz de calcular si supiera $\left|\Psi\right>$?

Localmente a $S$? Nada. Como usted señala, el parcial de seguimiento a $S$ le da información completa acerca de todas las mediciones locales.

Parece que las cosas deben existir, de lo contrario me gustaría ser capaz de construir la función de onda S (es correcto?)

El problema aquí es que podría no ser tal cosa como una "función de onda para $S$": incluso si el multipartito sistema está en un estado puro,$|\Psi\rangle$, si el estado se enreda, a continuación, hay estados (y en las mediciones de los estados) que no puede ser descrita por cualquier función de onda en el $S$ espacio de Hilbert.

Para un fácil ejemplo, considere dos enredados qubits en la Campana estado triplete $$ \left|\Psi\right\rangle = \frac{|0\rangle|0\rangle+|1\rangle|1\rangle}{\sqrt{2}} $$ junto con el local obervables $A_i=\sigma_i$, las matrices de Pauli. A continuación, el parcial de seguimiento para el primer qubit le da la reducción de la densidad de la matriz $$ \rho_s = \frac{|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|}{2}, $$ que tiene cero expectativa de valor para todos los tres $A_i$s, lo cual es imposible para un estado puro. Si usted puede describir $\rho_s$ en la forma $|\psi\rangle\langle\psi|$, entonces por todos los medios ir a por ello, pero en general esto no es posible.