Una identidad que involucran la función Beta

Question

Estoy tratando de mostrar que

$$ \int _0^1 \frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{(x+c)^{a+b}}dx = \frac{B(a,b)}{(1+c)^ac^b}$$

Donde $$B(a,b) := \int _0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx $$ es la "función Beta". Se supone que debo utilizar una sustitución, pero estoy bastante atascado. Estoy familiarizado con las propiedades básicas de la función Beta, su relación con la función gamma, etc. Cualquier sugerencias o los consejos de atención a la oferta que sería super cool.

Answer 1

vamos $$\dfrac{x}{x+c}=\dfrac{1}{1+c}t$$ entonces $$\dfrac{c}{(x+c)^2}dx=\dfrac{1}{1+c}dt$$ entonces \begin{align}\int_{0}^{1}\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{(x+c)^{a+b}}dx&=\int_{0}^{1}\left(\dfrac{x}{x+c}\right)^{a-1}\left(\dfrac{1-x}{x+c}\right)^{b-1}\cdot\dfrac{1}{(x+c)^2}dx\\ &=\dfrac{1}{c}\dfrac{1}{1+c}\dfrac{1}{c^{b-1}}\cdot\dfrac{1}{(1+c)^{a-1}}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt\\ &=\dfrac{B(a,b)}{(1+c)^ac^b} \end{align}

Answer 2

Deje $\displaystyle \int _0^1 \frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{(x+c)^{a+b}}dx = I$

Tenemos ,

$(1+c)^ac^bI=\displaystyle \int _0^1 \frac{(1+c)^ac^bx^{a-1}(1-x)^{b-1}}{(x+c)^{a+b}}dx $

$=\displaystyle \int _0^1 \frac{(1+c)c((1+c)x)^{a-1}(c(1-x))^{b-1}}{(x+c)^{a+b}}dx $

$=\displaystyle \int _0^1 \left(\frac{(1+c)c}{(x+c)^2}\right)\left(\frac{(1+c)x}{(x+c)}\right)^{a-1}\left(\frac{c(1-x)}{(x+c)}\right)^{b-1}dx$

Deje $\displaystyle y=\left(\frac{c(1-x)}{(x+c)}\right)$ y tenemos $\displaystyle dy=-\left(\frac{(1+c)c}{(x+c)^2}\right)dx$

Luego tenemos a la anterior $=-\displaystyle\int _1^0y^{b-1}(1-y)^{a-1}dy=\int_0^1y^{b-1}(1-y)^{a-1}dy=B(b,a)=B(a,b)$

Así que en última instancia, tenemos,

$\displaystyle(1+c)^ac^bI=B(a,b)\Rightarrow I=\frac{B(a,b)}{(1+c)^ac^b}$

Answer 3

EDITAR:

Parece que he borrado mi respuesta porque era demasiado similar a otro que responder en este hilo. Así que el siguiente es un enfoque diferente.

$ $

$$ \begin{align} \int_{0}^{1} \frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{(x+c)^{a+b}} \ dx &= \frac{1}{c^{a+b}} \int_{0}^{1} x^{a-1} (1-x)^{b-1} \left( 1+\frac{x}{c}\right) ^{-(a+b)} \ dx \\ &= \frac{B(a,b)}{c^{a+b}} {}_{2}F_{1} \left(a+b, a;a+b;-\frac{1}{c} \right) \\ &= \frac{B(a,b)}{c^{a+b}} {}_{2}F_{1} \left(a, a+b;a+b;-\frac{1}{c} \right) \end{align}$$

donde solía Euler representación integral de la función hipergeométrica.

Pero $ \displaystyle {}_{2}F_{1} (a, b;b;z)$ es la representación hipergeométrica de $(1-z)^{-a}$ (15.4.6).

Por lo tanto,

$$ \begin{align} \int_{0}^{1} \frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{(x+c)^{a+b}} \ dx &= \frac{B(a,b)}{c^{a+b}} \left(1+\frac{1}{c} \right)^{-a}\\ &= \frac{B(a,b)}{(1+c)^{a}c^{b}} . \end{align}$$