Demostrar que la suma de una secuencia de variables aleatorias converge casi seguramente

Question

Deje $(X_n)_{n\in\mathbb N}$ ser una secuencia de no negativo variables aleatorias iid con $\mathbb E[X] < \infty$.

¿Cómo se podría ir sobre la muestra que $\sum^{\infty}_{k=0} e^{X_k} c^k < \infty$ casi seguramente para algunos $c \in (0,1)$? He intentado usar el Borel-Cantelli lema, pero no puedo hacer que funcione. Alguna sugerencia?

Answer 1

La serie

$$\sum_{k=0}^{\infty}e^{X_k} c^k = \sum_{k=0}^{\infty} \left( e^{X_k/k} c \right)^k$$

converge casi seguramente para algunos $c \in (0,1)$, si existe una constante $C>0$ tal que

$$\limsup_{k \to \infty} e^{X_k/k} \leq C \quad \text{almost surely}. \tag{1}$$ Dado que, por la no-negatividad de las variables aleatorias,

$$\frac{X_k}{k} \leq \frac{X_1+\ldots+X_k}{k} =: \frac{S_k}{k}$$

de ello se deduce a partir de la fuerte ley de los grandes números que

$$\limsup_{k \to \infty} e^{X_k/k} \leq \limsup_{k \to \infty} e^{S_k/k} = e^{\mathbb{E}(X_1)}$$

casi seguramente, es decir, $(1)$ mantiene para $C:=e^{\mathbb{E}(X_1)}$.

Answer 2

Por el Borel-Cantelli lema, $X_k/k\to 0$ casi seguramente, de ahí que para casi todos los $\omega\in \Omega$, $X_k(\omega)/k\lt 1$ para cada una de las $k\geqslant K(\omega)$. Esto implica $\exp\left(X_k\left(\omega\right)\right)\lt \exp\left(k\right)$ y nosotros y elija $c$ tal que $ec\lt 1$.