Fórmula para el factor determinante de esta matriz

Question

Vamos a tener la matriz de $(n-1) \times (n-1)$

$$ \begin{pmatrix} 3 & 1& 1& \cdots& 1 \\ 1 & 4& 1& \cdots& 1 \\ 1 & 1& 5& \cdots& 1 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 1 & 1& 1& \cdots& n+1 \\ \end{pmatrix} $$

Deje que la marca es determinante $h_n$. $h_2 = 3$ es trivial, pero ¿qué acerca de la fórmula para el resto? Mi GF sugerido, que la fórmula para el factor determinante podría ser

$$ h_{n+1} = (n+1)h_n+n! $$

que parece que funciona muy bien. Pero no tengo idea de cómo ir sobre la prueba. Alguien puede hacerme en la dirección correcta?

Gracias de antemano.

Answer 1

Llame a su matriz $H_n$. Para $n\ge3$, vamos a $P$ ser el bidiagonal matriz cuya diagonal principal las entradas se $1$ y cuya superdiagonal entradas se $-1$. A continuación, $\det(P)=1$ y, por tanto,$\det(H_n)=\det(PH_n)$. Desde $$ PH_n=\pmatrix{ 2&-3\\ &3&-4\\ &&\ddots&\ddots\\ &&&\ddots&-(n-1)\\ &&&&n-1&-n\\ 1&1&\cdots&1&1&n+1 }, $$ por Laplace de expansión a lo largo de la última fila, llegamos a la conclusión de que $h_n=n!\sum_{k=1}^{n}\frac1k$$n\ge3$. La misma fórmula también se aplica a las $n=2$. Ahora el resto es trivial.