Dependencia del campo eléctrico con la distancia

Question

¿Cómo se puede demostrar que para una carga puntual, $E$ es proporcional a $$1/r^2$$ utilizando el concepto de líneas de campo eléctrico (o líneas de fuerza)? He intentado demostrar que si las líneas de campo están cerca, la magnitud del campo eléctrico es mayor. Pero, no pude mostrar la dependencia dada.

Answer 1

Por lo tanto, no hay ninguna prueba teórica real de la dependencia del cuadrado inverso del campo eléctrico en la electrodinámica clásica. Se trata de un hecho experimental conocido como la ley de Coulomb. Cuando se combina con el principio de superposición, nos da la ley de Gauss de la electrodinámica clásica:

$$\nabla \cdot\mathbf E = \frac{\rho}{\epsilon_0}.$$

Pero, también se puede pensar en la ley de Gauss como un hecho experimental y a partir de ella, se puede derivar (con supuestos físicos adecuados) la dependencia del cuadrado inverso del campo eléctrico de una esfera cargada de la siguiente manera:

Tomemos una carga esférica cuya carga $Q$ se distribuye con simetría esférica dentro de un radio $a$ . Consideremos una superficie centrada en el centro de la esfera y con un radio $R>a$ . Ahora, uno puede argumentar que en cada punto de la cáscara esférica, la única dirección, un campo eléctrico puede tener es radialmente hacia afuera o radialmente hacia adentro. Además, si el campo eléctrico apunta radialmente hacia adentro en uno de los puntos de la envoltura esférica, entonces debería apuntar radialmente hacia adentro en todos los demás puntos de la envoltura esférica. Además, la magnitud del campo eléctrico debe ser la misma en todos y cada uno de los puntos de la envoltura esférica considerada.

Así, la integral $\displaystyle\iint_{S} \mathbf E\cdot \mathrm d{\mathbf A}$ (donde $S$ denotan la integración sobre la superficie esférica) también puede escribirse como $4\pi R^2E$ donde $E$ es la magnitud del campo eléctrico, que se considera positiva si apunta hacia el exterior y negativa si apunta hacia el interior. (Esto es sólo una convención - se podría alterar y seguir obteniendo la dirección física correcta del campo eléctrico siempre que se utilice el cálculo vectorial correctamente). Ahora, a partir de la ley de Gauss, esta integral debe ser igual a la carga total dentro de la superficie esférica dividida por $\epsilon_0$ . es decir $Q/\epsilon_0$ . Por lo tanto,

$$4\pi R^2E = \dfrac{Q}{\epsilon_0}$$

O, $$E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Q}{R^2}\;.$$

Ya que, no había nada especial en el radio $R$ excepto en el caso de $R>a$ podemos considerar que esta fórmula es verdadera para cualquier $R>a$ .

Answer 2

Puedes demostrarlo utilizando el concepto de flujo eléctrico. Por ejemplo. Si rodeas una carga puntual con una esfera si r=1, o una esfera con r =10, sabes que el flujo eléctrico (intensidad de campo por área) debe ser el mismo. Una esfera es fácil porque cada punto es equidistante a la carga.

Answer 3

Esta es una cuestión mucho más profunda de lo que parece a primera vista. La simple lógica dada por @Anthony B no es suficiente para demostrar la ley del cuadrado inverso. Hay numerosos experimentos que se han hecho para verificar esta ley. Hay una recopilación de los trabajos experimentales en este revisar .

Anteriormente, Cavendish y Coulomb realizaron experimentos con semiesferas conductoras y muelles de torsión, que demostraron la ley del cuadrado inverso.

Procs y deBrolgie han postulado que si los fotones tienen masa en reposo entonces habrá desviaciones de la ley del cuadrado inverso. Sin embargo, las estimaciones de la masa en reposo de los fotones son realmente bajas.

Si hay una desviación de la ley del cuadrado inverso, entonces habrá una situación crítica para la física.

Answer 4

Como dijo Anthony B, el número de líneas de campo que cortan cualquier esfera que rodea una carga puntual es el mismo (porque cualquier línea de campo que pasa por una esfera de radio 1 también pasa por una esfera de radio 200) dado que, el flujo = E 4pi r^2 debería ser constante. Eso explica la dependencia de 1/r^2 teóricamente