Deje $P$ $Q$ ser aleatorio, la probabilidad de medidas en $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ un espacio de probabilidad. Es decir, $P: \mathcal{F} \times \Omega\to [0,1]$ es una medida de probabilidad en $(\Omega, \mathcal{F})$ para cada uno de ellos fijo $\omega \in \Omega$ y medibles para cada uno de ellos fijo $A \in \mathcal{F}$. Mismo para $Q$.
Deje $d$ ser el total de la variación de la distancia, es decir, $d(\mu_1, \mu_2) = \sup_{A \in \mathcal{F}}|\mu_1(A) - \mu_2(A)|$ para cualquier probabilidad de medidas de $\mu_1, \mu_2$$(\Omega, \mathcal{F})$.
En este papel, creo que algo como la siguiente inferencia (la parte relevante es en la página 644 en la prueba del Teorema 9.2; estoy abstracción de los detalles en el papel que yo creo que es irrelevante para mi pregunta). Supongamos que para todos los $A \in \mathcal{F}$ $\mu$ casi todos los $\omega$ hemos $$|P(A)(\omega) - Q(A)(\omega)| \leq g(\omega),$$ donde $g$ es una variable aleatoria en $(\Omega, \mathcal{F})$. Luego, tomando una supremum $A \in \mathcal{F}$ rendimientos $$d(P(\omega), Q(\omega)) \leq g(\omega)$$ para $\mu$ casi todos los $\omega$.
Pero esto parece problemático para mí, ya que hay potencialmente una cantidad no numerable de $A$. Es decir, sabemos que para cada una de las $A \in \mathcal{F}$, hay un $\mu$-null set $F_A$ de los puntos en los que la primera desigualdad se produce un error. El conjunto de puntos en el que la segunda desigualdad no es $\cup_A F_A$, lo que puede tener de positivo $\mu$ de probabilidad, porque la unión es incontable.
Estoy en lo cierto a tener dudas sobre esto o es la inferencia válida?
Añadido. En realidad, la inferencia en el papel es ligeramente diferente de la forma en que me representado por la parte de arriba. Pero mi preocupación sigue siendo y me gustaría apreciar la retroalimentación sobre inferencias.
Supongamos ahora que para todos los $A \in \mathcal{F}$ $\mu$ casi todos los $\omega$ hemos $$|P(A)(\omega) - Q(A)(\omega)| \leq f(A,\omega),$$ donde $f$ es un valor real de la función en $\mathcal{F} \times \Omega$ satisfacer cualquier requisito de la mensurabilidad de las propiedades. Luego, tomando una supremum $A \in \mathcal{F}$ rendimientos $$d(P(\omega), Q(\omega)) \leq \sup_{A \in \mathcal{F}}f(A,\omega)$$ para $\mu$ casi todos los $\omega$.
Ahora la preocupación es esta. Deje $F$ ser el conjunto de puntos en que la última desigualdad se produce un error y deje $\omega_0 \in F$. Luego de algunos $A_0 \in \mathcal{F}$ hemos $$|P(A_0)(\omega_0) - Q(A_0)(\omega_0)| > \sup_A f(A, \omega_0) \geq f(A_0, \omega_0).$$ Por lo $\omega_0$ es un punto en el que $|P(A)(\omega) - Q(A)(\omega)| \leq f(A,\omega)$ falla por $A$. Por lo tanto, la revitalización de la notación introducida anteriormente, tenemos $F \subseteq \cup_A F_A$. Y $F$ no tienen necesidad de probabilidad $0$ como la unión es incontable, contradiciendo nuestra inferencia.
