Encontrar el radio de convergencia de este poder serie: $\sum_{k=0}^{\infty } \binom{2k}{k}x^{k}$

Question

Dado: $\sum_{k=0}^{\infty } \binom{2k}{k}x^{k}$

Empecé por lo componen:

$\binom{2k}{k} = \frac{(2k)!}{k!*(2k-k)!} = \frac{(2k)!}{k!*k!}$

Ahora el problema es que no puedo escribir $2! * k!$ en lugar de $(2k)!$, por lo que no parece ser una manera de eliminar una $k!$ en el denominador.

O voy a empezar a partir de aquí con la prueba de razón?

Me imagino que va a terminar igual o incluso más complicado porque yo no sé acerca de que la norma especial, cómo la forma que mejor que (asumiendo que hay una manera de hacerlo...).

Answer 1

Sugerencia. Según lo sugerido por @Claude Leibovici, puede escribir, como $k \to \infty$, $$ \left|\frac{\binom{2(k+1)}{k+1}x^{k+1}}{\binom{2k}{k}x^{k}}\right|=\frac{2(k+1)(2k+1)}{(k+1)^2}|x| \4|x|. $$ Then the radius of convergence is $R=\dfrac14$.