Cada permutación matriz tiene uno de los tres tipos de simetría:
- no hay simetría, la órbita de tamaño 4,
- $180^\circ$ simetría rotacional, pero no $90^\circ$ simetría rotacional, la órbita de tamaño 2,
- $90^\circ$ simetría rotacional, la órbita de tamaño 1.
Indicar el número de $N\times N$ permutación de matrices de cada uno de los mencionados tipos de simetría $n_1(N)$, $n_2(N)$, $n_3(N)$. Si podemos averiguar $n_2(N)$$n_3(N)$, entonces podemos calcular $n_1(N)=N!-n_2(N)-n_3(N)$. Dado que el conjunto de matrices de tipo 1 se divide en órbitas de tamaño 4 y el conjunto de matrices de tipo 2 se divide en órbitas de tamaño 2, el número de esencialmente diferentes matrices de tamaño $N$ es
$$
n(N)=\frac{n_1(N)}{4}+\frac{n_2(N)}{2}+n_3(N).
$$
Matrices con 180$^\circ$ simetría rotacional. ¿Qué debe hacer un permutación mirada como si su matriz de permutación es modificado por el 180$^\circ$ rotación? Observar que si $N$ es impar, la fila $(N+1)/2$ se somete a la inversión cuando la matriz es girado en 180$^\circ$. En una matriz con 180$^\circ$ simetría rotacional, fila $(N+1)/2$ por lo tanto debe ser simétrica en virtud de inversión, lo que significa que su sola $1$ debe estar en la columna $(N+1)/2$. Esto se corresponde con el punto central de la matriz, que se fija en virtud de la rotación. En otras palabras, una permutación cuya matriz tiene 180$^\circ$ simetría rotacional debe arreglar $(N+1)/2$ si $N$ es impar.
Ahora supongamos que nuestro permutación con 180$^\circ$ simetría de rotación de mapas de $1$$j$. Porque, en virtud de 180$^\circ$ rotación, fila $1$ se convierte en fila $N$ con el orden de los elementos invertidos, $N$ debe, a continuación, asignar a $N+1-j$. Al $N$ es impar y mayor que $1$, sabemos que $j\ne(N+1)/2$ desde $(N+1)/2$ se asigna a sí mismo y por lo tanto no puede ser la imagen de $1$. Por lo tanto, hay $N-1$ opciones para $j$. Al $N$ es incluso, hay $N$ opciones para $j$.
Deje $\sigma(b)$ denotar la imagen de $b$ bajo la permutación que estamos considerando. Considere la posibilidad de $k=\sigma(2)$. La simetría nos dice por el argumento del párrafo anterior que $\sigma(N-1)=N+1-k$. Desde $k$ no puede coincidir con $j$ o $N+1-j$, $N-3$ opciones para $k$ al $N$ es impar, y $N-2$ opciones a la hora de $N$ es incluso. Continuando de esta manera nos encontramos con que al $N$ es incluso hemos
- $N$ opciones para $\sigma(1)$,
- $N-2$ opciones para $\sigma(2)$,
- $N-4$ opciones para $\sigma(3)$,
- $\vdots$
- $2$ opciones para $\sigma(N/2)$
Las imágenes del resto de las $N/2$ elementos están fijados por la simetría. En consecuencia, si $N=2M$, $2^M\cdot M!$ permutaciones con 180$^\circ$ simetría rotacional. El extraño caso se maneja de una manera similar. Dado que las matrices con el 90$^\circ$ simetría rotacional tiene 180$^\circ$ simetría rotacional así, llegamos a la conclusión de que
$$
n_2(N)+n_3(N)=2^M\cdot M!\qquad\text{donde}\qquad\begin{cases}N=2M & \text{if %#%#% even}\\ N=2M+1 & \text{if %#%#% odd.}\end{casos}
$$
Matrices con el 90$N$ simetría rotacional. Ahora enumerar la permutación de matrices con el 90$N$ simetría rotacional. Supongamos que una permutación de los mapas de $^\circ$$^\circ$. Entonces, puesto que la fila $1$ se convierte en la columna de $j$ después de un 90$1$ rotación a la derecha, vemos que $N$ mapas a $^\circ$. Sabemos, a partir de la discusión anterior de 180$j$ rotaciones que $N$ mapas a $^\circ$. Por último, en virtud de un 270$N$ rotación a la derecha, la fila 1 se convierte en la columna 1 con el orden de los elementos invertidos. Por lo tanto, $N+1-j$ mapas a $^\circ$. Como consecuencia, la permutación contiene los 4-ciclo de $N+1-j$.
De manera más general, una permutación cuya matriz tiene el 90$1$ simetría rotacional consta de 4 ciclos de la forma $(1,j,N,N+j-1)$. Tenga en cuenta que $^\circ$ no puede igualar $(a,b,N+1-a,N+1-b)$ si $a$ ya que un 90$b$ rotación a la derecha envía el elemento de la matriz $a=b=(N+1)/2$$^\circ$, lo que podría producir dos $(a,a)$s en la fila $(a,N+1-a)$ si $1$. Por un razonamiento similar, $a$ no puede igualar $N+1-a=a$ si $b$. En el caso de $N+1-a$, lo que requiere de $a=b=(N+1)/2$ impar, la permutación contiene el 1-ciclo de $a=(N+1)/2$. Esto representa el punto central de la matriz, que, como ya hemos discutido, es fijado por la rotación.
Desde una permutación cuya matriz tiene el 90$N$ simetría rotacional compuesto enteramente de 4 ciclos de si $((N+1)/2)$ es incluso y de 4 ciclos y un solo 1 ciclo si $^\circ$ es impar, nos encontramos con que el número de permutaciones es
$$
n_3(N)=
\begin{cases}
(4P-2)\cdot(4P-6)\cdot\ldots\cdot2=2\dfrac{(2P-1)!}{(P-1)!} & \text{if %#%#% or %#%#%}\\
0 & \text{if %#%#% or %#%#%.}
\end{casos}
$$
Con estos ingredientes, se obtiene
$$
\begin{array}{r|rrr|r}
N & \frac{n_1(N)}{4} & \frac{n_2(N)}{2} & n_3(N) & n(N)\\
\hline
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 1 & 0 & 2 \\
4 & 4 & 3 & 2 & 9 \\
5 & 28 & 3 & 2 & 33 \\
6 & 168 & 24 & 0 & 192 \\
7 & 1248 & 24 & 0 & 1272 \\
8 & 9984 & 186 & 12 & 10182 \\
9 & 90624 & 186 & 12 & 90822 \\
10 & 906240 & 1920 & 0 & 908160 \\
11 & 9978240 & 1920 & 0 & 9980160 \\
12 & 119738880 & 22980 & 120 & 119761980 \\
13 & 1556743680 & 22980 & 120 & 1556766780 \\
14 & 21794411520 & 322560 & 0 & 21794734080 \\
15 & 326918430720 & 322560 & 0 & 326918753280 \\
16 & 5230694891520 & 5160120 & 1680 & 5230700053320 \\
17 & 88921854443520 & 5160120 & 1680 & 88921859605320
\end{array}
$$
