En primer lugar, vamos a definir mejor esta preorden: $\sf ZF\vdash\varphi\rightarrow\psi$ . Entonces la relación de equivalencia es $\sf ZF\vdash\varphi\leftrightarrow\psi$ .
Hay infinitas cadenas, eso es fácil de demostrar. En primer lugar, observe que si permitimos parámetros, como $\kappa$ y $\lambda$ entonces $\sf DC_\kappa$ implica $\sf DC_\lambda$ si $\lambda\leq\kappa$ . Como no permitimos parámetros aquí, tenemos que reducir a definibles $\aleph$ 's, como $\aleph_0,\aleph_1,\ldots,\aleph_n$ y así sucesivamente. Con esto ya tenemos al menos una cadena cuya longitud es infinita. Una cuestión interesante es preguntar cuál es su longitud, pero esto me parece equivalente (o al menos estrechamente relacionado) a preguntar cuál es el ordinal teórico de prueba de $\sf ZF$ y sospecho que la respuesta es desconocida.
Las cadenas maximales finitas son objetos complicados, y sospecho que no existen. La razón es que si $\varphi$ no es demostrable a partir de $\sf ZF$ ni demuestra $\sf AC$ Entonces suele ocurrir que podemos ampliarla "un poco", añadiendo parte de la elección que falta a una pequeña familia de objetos. Por ejemplo, la elección de familias de conjuntos finitos no implica el axioma de elección en su totalidad. Sin embargo, podemos ampliarlo un poco exigiendo la elección entre familias contables de conjuntos infinitos; entonces, entre familias de tamaño $\aleph_1$ y así sucesivamente. La cadena finita máxima tendría que ser algún tipo de principio particular que al extenderla aunque sea un poco, necesariamente probará el axioma de elección. No se me ocurre ninguno.
En cuanto a las anticadenas, éstas son más difíciles de investigar porque para demostrar que $\varphi$ y $\psi$ son incomparables hay que demostrar que un principio no implica el otro y viceversa. Algo intrínsecamente más difícil. Pero aún se puede cocinar una anticadena infinita sólo considerando la elección de familias finitas. En Jech "El axioma de la elección" la última parte del capítulo 7 trata de esta situación y da una condición a partir de la cual podemos, al menos, demostrar inmediatamente que dada $p,q$ números primos $C_p,C_q$ son comparables si y sólo si $p=q$ (donde $C_n$ es el axioma de elección de familias de conjuntos de exactamente $n$ miembros).
Hay cosas más difíciles de preguntar, sobre $\sf BPI$ o sobre la intrincada estructura de la línea real, o cuestiones sobre la regularidad de los cardenales sucesores, etc. El axioma de elección puede formularse de un billón de maneras, y cada una de ellas puede ser ajustada para ser debilitada de un billón de maneras diferentes. Así que este orden parcial es, en efecto, extremadamente complicado (aunque sólo sea contable).
