Problemas con una prueba de que, en un orden lineal - un mínimo elemento es el elemento más pequeño

Question

Tengo un problema con una prueba que he encontrado en la Velleman "Cómo demostrarlo". Esto es interesante, porque es la primera vez que no puedo ver la estructura de una prueba presentados en el libro. Los siguientes son el teorema y Velleman de la prueba.

Teorema:
Supongamos $R$ es un orden parcial en un conjunto $A$, e $B \subseteq A$. Si $R$ es un orden total y $b$ es el mínimo elemento de $B$, $b$ es el elemento más pequeño de $B$.

Velleman de la Prueba:
Supongamos $R$ es un orden total y $b$ es el mínimo elemento de $B$. Deje $x$ ser un elemento arbitrario de $B$. Si $x = b$, entonces a partir de la $R$ es reflexiva, $bRx$. Ahora supongamos $x \neq b$. Desde $R$ es un orden total, sabemos que cualquiera de las $xRb$ o $bRx$. Pero $xRb$ no puede ser verdad, ya que mediante la combinación de $xRb$ con nuestra suposición de que $x \neq b$ podríamos concluir que $b$ no es mínima, lo que contradice nuestra suposición de que es mínima. Por lo tanto, $bRx$ debe de ser verdad. Desde $x$ fue arbitraria, podemos concluir que $ \forall x \in B(bRx)$, lo $b$ es el elemento más pequeño de $B$.

Problema
Mi problema es con la estructura de la prueba. En particular, la veo un poco como un "conejo del sombrero" el hecho de que empezar por asumir que $x \neq b$.
En las páginas del libro antes de la prueba real, el autor presenta el cero de trabajo detrás de la prueba. Ahora, puedo ver la lógica detrás de esto (el problema acerca de la $x$ ser o no ser igual a $b$), pero no veo cómo esto con facilidad entra en la imagen de la prueba. Sólo ten en cuenta que el uso de "a Prueba de Diseñador" (el software que se puede encontrar en Velleman del sitio y que va a lo largo del libro), en realidad podía demostrar el teorema sin empezar con la suposición de que $x \neq b$. En efecto, la prueba en palabras deben ir a lo largo de las siguientes líneas:

Prueba:
Suponga que $B \subseteq A$, $R$ es un orden total, y que $b$ es el mínimo elemento de $B$. Deje $x \in B$ ser arbitraria. Por lo tanto, por el hecho de que $b$ es mínimo, tenemos que si $(x,b) \in R$,$x=b$. Proceder por casos.
1. $(x,b) \notin R$:
Desde $x \in B$$b \in B$, podemos concluir que $x \in A$$b \in A$. De la integridad de $R$ tenemos que, o bien $(x,b) \in R$ o $(b,x) \in R$. Por lo tanto, por supuesto que $(x,b) \notin R$,$(b,x) \in R$.
2. $x=b$:
Desde $x \in B$$b \in B$, podemos concluir que $x \in A$$b \in A$. A partir de la reflexividad de $R$ tenemos que $(b,b) \in R$. Pero, puesto que, por hipótesis de $x=b$, podemos concluir que $(b,x) \in R$. QED

PREGUNTAS:
Es mi prueba de sonido?
Hay alguien que me puede dar una respuesta sobre qué es en realidad la estructura de Velleman de la prueba?
De hecho, me trató replica Velleman la estructura de la prueba con "a Prueba de Diseñador", pero no lo he conseguido.

Muchas gracias por cualquier ayuda.

PS: Condicional en mi prueba de sonido, cualquier comentario sobre la escritura es más que bienvenido.

Answer 1

Para ser honesto, no veo mucha diferencia entre Velleman de la prueba y la de los tuyos. Ambas son pruebas por la división en los casos, y de hecho yo diría que la suya es mejor escrito y mejor establecidos de su: hacer los dos casos claros, mientras que él confunde a ellos juntos en un párrafo.

Su elección de los casos es $(x,b)\in R$ o no; su es $x=b$ o no. Para mí, ambos son sensatas ideas a tener en cuenta y ninguno es más "conejo-fuera-de-hatty" que el otro. Y de hecho, lógicamente, son idénticas: al $b$ es el mínimo elemento de un orden parcial tenemos $(x,b)\in R$ si y sólo si $x=b$.

Como observación final (aunque a partir de uno de tus comentarios anteriores creo que ya se dan cuenta de esto), no olvides que a veces no hay alternativa a sacar conejos de los sombreros! He visto varios libros sobre la prueba (aunque no sé Velleman) y que muchos de ellos contienen un montón de buenos consejos. Pero a veces sólo necesitas una idea brillante, y realmente no hay ninguna manera de enseñar.