La convergencia de $\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^6}dx$

Question

Bueno, por lo que se me pide para verificar la convergencia o divergencia de las siguientes impropias integrales:

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^6}dx$$

y

$$\int_1^\infty \frac{x}{1-e^x}dx$$

Ahora, mi primer intento fue el uso de la comparación del criterio de con $$\int \frac{1}{x^2}$$

y a la conclusión de que tanto la indebida integrales convergen dado que son más pequeños que el término general $\frac{1}{x^2}$.

Es el camino correcto? También, son los antiderivatives de la indebida de las integrales dadas fácil de encontrar?

Gracias.

Answer 1

Para el segundo, tiene dos problemas. Una de ellas es $\infty$, lo que la comparación va a cuidar. En $1$ el denominador tiende a cero. Una vez que usted muestre va a un número finito de valor que han demostrado la convergencia.

Answer 2

Para el primero, se puede escribir:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{1+x^6}\le \int_1^{\infty}\frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{4}$$

y

$$\int_0^{1} \frac{dx}{1+x^{6}}\le \int_0^{1} dx=1$$

Esto demuestra que

$$\int_0^{\infty}\frac{dx}{1+x^6}$$ exists and is finite. You can similarly show $$\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{1+x^6}$$ existe, y la adición de las dos integrales muestra el deseado integral converge.

Answer 3

Si se excluye a algunos irrelevante finito pieza cerca del origen, a continuación, $1/x^2$ fácilmente los límites de la primera integral, sí.

El segundo es más fácil de usar algo como $-e^{-x/2}$. La parte superior es el tiempo más pequeño que cualquier exponencial y la parte inferior crece de manera exponencial.

Ni tiene una simple antiderivada, y sólo el primero tiene una antiderivada que se puede expresar en términos de funciones elementales.

Answer 4

Para el segundo, tenga en cuenta que:

$\int_1^\infty \frac{x}{1-e^x}dx \leq \sum_2^{\infty} \frac{n}{1 - e^{n}}$,

así que podemos aplicar el test del cociente de:

$\lim_{n \to \infty} \frac{(1 -e^n)(n+1)}{(1-e^n)n}$

el uso de L'Hôpital una vez que obtenemos:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - e^n(n+2)}{1 - e^{n+1}(n+1)}$ =

$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{e^{n+1}(n+1)-1} + \lim_{n \to \infty}\frac{e^n(n+2)}{1 -e^{n+1}(n+1)}$ =

$\lim_{n \to \infty}\frac{e^n(n+2)}{1 -e^{n+1}(n+1)} = $

(el uso de L'Hôpital y simplificando)

$\lim_{n \to \infty} \frac{n+3}{en + 2e} = $

(el uso de L'Hospital de nuevo)

$\frac{1}{e} < 1$

por eso la serie, y por lo tanto la integral converge.