Mostrando que la norma de la proyección canónica $X\to X/M$ $1$

Question

¿Cómo puedo demostrar que, dado $M$ un subespacio cerrado de una normativa espacio de $X$, y deje $\pi$ ser canónica de la proyección de X sobre $X/M$. Demostrar que $\|\pi\| = 1$.

Me imagino que podría utilizar Riesz' lexema y establecer $\|\pi\| = 1$, que es la que tengo.

Yo también podría utilizar el hecho de que la canónica mapa es una contracción, así que tendría $\|\pi(x)\| \leq \|x\| \Rightarrow \frac{\|\pi(x)\|}{\|x\|} \leq 1$ y teniendo un supremum, a continuación, obtenemos el resultado deseado. Esto no parece tan riguroso.

Answer 1

Por definición de la norma en $X/M$, para cada uno de los $x\in X$, $$\|\pi(x)\|=\inf\{\|x+y\|:y\in M\}\leq \|x+0\|=\|x\|,$$ hence $\|\pi\|\leq 1$.

En el otro sentido, debemos asumir que $M\neq X$; deje $x$ ser un elemento de $X\setminus M$. Por closedness de $M$, $\|\pi(x)\|>0$, y así para cada uno de los $\varepsilon>0$, $\dfrac{\|\pi(x)\|}{1-\varepsilon}>\|\pi(x)\|=\inf\{\|x+y\|:y\in M\}$. Esto implica que existe $y\in M$ tal que $\|\pi(x)\|> \|x+y\|(1-\varepsilon)$. Por lo tanto $\|\pi(x+y)\|=\|\pi(x)\|> \|x+y\|(1-\varepsilon)$. Debido a $x+y\neq 0$, esto implica que $\|\pi\|> 1-\varepsilon$.

Answer 2

El hecho de que $\| \pi(x) \| \le \|x\|$ todos los $x \in X$ le dice que $\|\pi\| \le 1$$\|\pi\| := \sup\{\|\pi(x)\| : \|x\| \le 1 \}$. Si tienes que elegir un punto de $z \in M$$\|\pi(z)\| = \|z\|$$\|\pi\| = 1$.