Encontrar la probabilidad de que al menos una válvula defectuosa.

Question

Una fábrica produce Una $10$% válvulas defectuosas y otra fábrica de $B$ produce el 20% de las válvulas defectuosas.Una bolsa contiene $4$ válvulas de fábrica $A$ $5$ válvulas de fábrica B. Si ambas válvulas son elegidos al azar de la bolsa,encontrar la probabilidad de que al menos una válvula defectuosa.

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$P(\text{at least one valve is defective})=\\=1-P(\text{none of the two valves are defective})=\\=1-\left(\frac{\binom{4}{2}}{\binom{9}{2}}(0.9)^2+\frac{\binom{5}{2}}{\binom{9}{2}}(0.8)^2+\frac{\binom{4}{1}\binom{5}{1}}{\binom{9}{2}}(0.9)(0.8)\right)=\frac{517}{1800}$,

pero la respuesta dada es $\frac{303}{1800}$ no sé de dónde me he equivocado.

Answer 1

La Probabilidad de que la fábrica de $A$ produce defectuoso valores es $\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$

La Probabilidad de que la fábrica de $B$ produce defectuoso valores es $\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}$

Le dio una bolsa contiene $4$ valores de fábrica $A$ $5$ valores de fábrica $B$ y dos valores son extraídos al azar.

$$P(\mbox{at least one defective})=1-P(\mbox{both are non-defective})$$ $$P(\mbox{both are non-defective})=P(\mbox{both values of factory }B)\times P(\mbox{both are non-defective})+P(\mbox{both values of factory }B)\times P(\mbox{ both are non defective})+P(\mbox{one value of $$ and other of factory $B$})\times P(\mbox{both are nondefective})$$ $$=\dfrac{\dbinom{4}{2}}{\dbinom{9}{2}}\left(\frac{9}{10}\right)^2+\dfrac{\dbinom{5}{2}}{\dbinom{9}{2}}\left(\dfrac45\right)^2+\dfrac{\dbinom{4}{1}\cdot\binom{5}{1}}{\binom{9}{2}}\times\left(\frac{9}{10}\right)\times\left(\frac{4}{5}\right)$$ $$=\dfrac{27}{200}+\dfrac{8}{45}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{1283}{1800}$$ Ahora, $P(\mbox{at least one defective})=1-\dfrac{1283}{1800}=\approx0.29$

Por tanto, la respuesta a lo que tienes es $\dfrac{517}{1800}\approx0.29$ lo cual es correcto.

Answer 2

La respuesta es, de hecho,$\frac{517}{1800}$, debido a que:

$$P(\text{al menos uno de los dos defectuoso})=1-P(\text{normal})=\\ 1-[P(ANAN)+P(ANBN)+P(BNAN)+P(BNBN)]=\\ 1-\left[\frac{4}{9}\cdot \frac9{10}\cdot \frac38\cdot \frac9{10}+ \frac{4}{9}\cdot \frac9{10}\cdot \frac58\cdot \frac8{10}+ \frac{5}{9}\cdot \frac8{10}\cdot \frac48\cdot \frac9{10}+ \frac{5}{9}\cdot \frac8{10}\cdot \frac48\cdot \frac8{10}\right]=\\ 1-\frac{1283}{1800}=\frac{517}{1800}.$$