Supongamos $x$ es un número entero tal que $3x \equiv 15 \pmod{64}$. Encontrar el resto al $q$ se divide por $64$.

Question

Supongamos $x$ es un número entero tal que $3x \equiv 15 \pmod{64}$. Si $x$ resto $2$ y el cociente $q$ cuando se divide por $23$, determinar el resto al $q$ se divide por $64$.

He intentado un par de cosas. Por el algoritmo de la división, a saber $x = 23q + 2$. Por lo $3(23q + 2) \equiv 15 \pmod{64}$. No está seguro de cómo ir desde allí.

Otra cosa que he intentado es $3x = 64q + 15$. Si dejamos $q$ cero, a continuación, $x$ es obviamente $5$. Esto también no terminan siendo de mucha ayuda, y creo $x$ puede tener otros valores además de"$5$.

Answer 1

El uso de tantas variables como te gusta, si usted no se siente cómodo con el módulo de notación. A continuación, podemos trabajar con ellos como ordinarias ecuaciones, y ver cómo derivar ninguna conclusión.

Por ejemplo, $3x \equiv 15 \mod 64$ significa que $3x-15 = 64k$ para algunos entero $k$. Ahora, $3$ divide el lado izquierdo, por lo tanto el derecho como bien. El uso de un lexema acerca de los números primos, $3 | 64$ o $3 | k$. El primero no es cierto, por lo $3 | k$ es cierto. Deje $k = 3m$, luego cancelar $3$ obtenemos $x - 5 = 64m$.

Escribir $x = 23q + 2$. De ello se desprende que $23q = x - 2 = x-5+3 = 64m+3$.

Por eso, $23q -3 = 64m$. Lo que vamos a hacer ahora, es multiplicar ambos lados por una muy especial número, $39$. $$23q - 3 = 64 m \implica 897 p - 117 = 64 \times m 39 m \implica p - 117 = 64 \times m 39 m - 64 \times 14q\\ \implica q = 64(39m - 14q) + 117 \implica q = 64(39m - 14q + 1) + 53$$

Por lo tanto, $q$ deja un resto de $53$ cuando se divide por $64$.

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¿Por qué he de multiplicar por $39$? Lo que yo quería hacer, en realidad, es para mostrar que $q$ es un múltiplo de a $64$ pus algunas resto. La única manera de aislar un solo $q$ a partir de la ecuación dada, en lugar de $23q$, fue para que yo pudiera quitar exactamente un $q$, y el resto sería un múltiplo de $64$ (es decir, $64 \times 14 = 896$) de los que podría enviar al cociente lado. El número más pequeño con el que yo podría hacer esto se $39$, ya que el $23 \times 39 = 64 \times 14 + 1$.

$39$ se dice que es el inverso de a $23$ modulo $64$ por esta razón.

Answer 2

Continuar a partir de donde se detuvo: $$\begin{align} 3(23q + 2) &\equiv 15 \pmod{64} \Rightarrow \\ 69q+6 &\equiv 15 \pmod{64} \Rightarrow \\ 69q &\equiv 9 \pmod{64} \Rightarrow \\ 64q+5q &\equiv 9 \pmod{64} \Rightarrow \\ 5q &\equiv 9 \pmod{64} \Rightarrow \\ 5q\cdot 13 &\equiv 9\cdot 13 \pmod{64} \Rightarrow \\ 65q &\equiv 117 \pmod{64} \Rightarrow \\ 64q+q &\equiv 64+53 \pmod{64} \Rightarrow \\ q &\equiv 53 \pmod{64}. \end{align}$$

Answer 3

$3x\equiv 15\pmod{64}$ significa
$64\mid (3x-15)$
$64\mid 3(x-5)$

Desde $64$ $3$ no tienen factores comunes, se deduce que el $64$ debe dividir el resto de factor de $x-5$ : $$x\equiv 5\pmod {64}$$

Directamente el plugin dado info $x=23q+2$ : $$23q+2\equiv 5 \pmod{64}$$

Restar $2$ ambos lados y ver si usted puede probar el resto.

Answer 4

Por el algoritmo de la división, a saber $x = 23q + 2$. Por lo $3(23q + 2) \equiv 15 (mod 64)$.

Sugerencia: a continuación, $\,15 = 69 q + 6 \equiv 5q + 6 \pmod{64} \implies 5q \equiv 9 \implies 65q \equiv 117 \implies \ldots\,$