Demostrando que una Secuencia es Ilimitado - $a_{n+1}=e^{a_n}-1$

Question

Aquí está mi pregunta:

Deje $a_1>0$ $a_n$ ser una secuencia tal que: $$a_{n+1}=e^{a_n}-1$$

Demostrar que $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$.

He comprobado que la sucesión es monótona creciente, con el siguiente Lema.

Lema $$e^x>x+1$$

(Comprobado).

Con el Lema, puedo escribir que la secuencia como la siguiente:

$$a_{n+1}-a_n=e^{a_n}-1-a_n\Rightarrow e^{a_n}>a_n+1$$

Por lo tanto, la sucesión es monótona creciente.

¿Cómo puedo probar que es ilimitado? Si hago probar que es ilimitado, entonces su límite sería $\infty$.

Gracias,

Alan

Answer 1

Usando el Lema $1$, $e^x>1+x$ para $x>0$, tenemos

$$a_{n+1}-a_n=e^{a_n}-1-a_n>0\implies a_n\,\,\text{is increasing monotonically}$$

Suponga que $a_n$ está acotada. Entonces, tendríamos $a_n\to L$ para algún número real $L$. A continuación,

$$\lim_{n\to \infty }a_{n+1}=L=e^L-1$$

Pero, $e^L-1>L$ y hemos deseado contradicción!

Por lo tanto, $a_n$ es ilimitado.

Answer 2

$a_{n+1} =e^{a_n}-1 \ge (1+a_n+a_n^2/2)-1 =a_n(1+a_n/2) $. Por lo tanto $\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1+a_n/2 $. Por lo tanto, para cualquier $k$, $\frac{a_{n+k+1}}{a_{n+k}} > 1+a_{n+k}/2 > 1+a_{n}/2 $ desde $a_n$ es cada vez mayor.

La multiplicación de estos, $\frac{a_{n+k}}{a_{n}} > (1+a_{n}/2)^k > 1+ka_n/2 $ la que se muestra la la divergencia.