El rol de la lógica en matemáticas y educación

Question

Mi pregunta está algo relacionada con esta discusión:

¿Es las matemáticas una gran tautología?

Tengo antecedentes en informática y siempre he abordado las matemáticas desde el punto de vista lógico (¿formalismo?). En el pasado, cuando intentaba abordar una demostración, utilizaba los principios que había aprendido en mi curso de lógica matemática discreta. Más tarde, cuando tomé cursos de matemáticas más serios, este enfoque fue reforzado porque se esperaba rigor. Siempre pensé que el rigor era la capacidad de justificar cada uno de mis pasos de manera lógica. Realmente sentí que aprender lógica básica me ayudó enormemente.

Cuando leí la primera respuesta a la pregunta que enlacé anteriormente, casi me quedé asombrado. ¿La lógica es solo una herramienta? ¿Es la habilidad menos relevante para hacer matemáticas? ¿He tenido una perspectiva equivocada todo este tiempo? Parece que las matemáticas se tratan como un asunto intuitivo, mientras que siempre las he abordado con reglas lógicas (y en el proceso no he desarrollado mucha intuición para los objetos que estoy estudiando). Las clases iniciales de matemáticas rigurosas se tratan axiomáticamente, así que nunca he tenido que depender de la intuición.

Tengo varias preguntas:

1) ¿Cuánta lógica aprenden en realidad la mayoría de los estudiantes de matemáticas (pura)? ¿Toman estos cursos de matemáticas discretas, que introducen la lógica, o simplemente desarrollan la intuición a medida que avanzan?

2) ¿Mi perspectiva es producto de una mala educación matemática? Casi siento que las matemáticas discretas son una extensión de los cursos de cálculo de nivel de computación.

Answer 1

Desde el punto de vista de un lógico, ¡la lógica es mucho más que solo una herramienta! Pero ese es probablemente un tema para otro momento...

Ciertamente, pienso que la gente estaría (o debería estar) de acuerdo en que la lógica es al menos una herramienta muy útil. La primera respuesta a la pregunta a la que enlazaste tiene un punto válido: para la mayoría de los matemáticos, las habilidades lógicas no son tan importantes como la creatividad. A menudo, al construir demostraciones por uno mismo, no es suficiente simplemente probar todas las posibles combinaciones de reglas de inferencia que podrían ser usadas en esos axiomas. Muchas demostraciones requieren que construyas ciertos objetos matemáticos con características especiales, o necesitas establecer definiciones que serán útiles más adelante, y este proceso es (discutiblemente) un proceso creativo. Una vez que tienes la idea detrás de una demostración, construir el argumento lógico a seguir es más como archivar documentos: debe hacerse, y los estudiantes deben aprender a hacerlo, pero una vez que lo sabes, no hay nada técnicamente difícil en su implementación.

Además, la lógica solo te puede llevar hasta cierto punto en términos de revisión de creencias (como es bien sabido en teorías de revisión de creencias). Si partes de axiomas que intuitivamente parecen capturar los conceptos que buscas, y resulta que alguien presenta una demostración de algún resultado altamente contra intuitivo sobre ese concepto, la lógica no te dirá si debes hacer un modus ponens o un modus tollens; es decir, no te dirá si debes confiar en tus axiomas y aceptar el resultado contra intuitivo, o si debes rechazar el resultado contra intuitivo y revisar tus axiomas (¡incluso tu lógica! pero no vamos a hablar de eso). Así que cuando estás haciendo matemáticas serias, necesitas una especie de intuición sobre si los resultados que obtienes parecen tener sentido, dado lo que estás tratando de describir.

Dicho esto, probablemente hay muchos casos en los que hasta ahora hemos descartado la opción del modus tollens por completo, y simplemente trabajamos axiomáticamente. Puede haber casos, por ejemplo, en teoría de conjuntos o teoría de computabilidad, donde hemos cambiado nuestras intuiciones sobre los conceptos originales a un punto en el que simplemente hemos llegado a aceptar o incluso definir que nuestras intuiciones sean justo lo que dicen los axiomas. Incluso en estos casos, por supuesto, todavía se necesita alguna intuición sobre cómo funcionan los axiomas, pero el dilema anterior ocurre con menos frecuencia.

Para responder a 1): en mi experiencia, la mayoría de los estudiantes de matemáticas deben tomar un curso de matemáticas discretas donde cubren ciertos conceptos básicos sobre lógica, teoría de números, etc. Así que aprenden algo, pero a menudo se espera que aprendan solo lo suficiente.

Para responder a 2): es verdad, creo, que mucha gente tiene una impresión equivocada de lo que es las matemáticas. La mayoría de las personas con las que he hablado que no han estudiado matemáticas serias piensan que simplemente hacemos cálculos y realizamos integrales complicadas todo el día (lo cual puede ser cierto para algunos, pero ciertamente no para todos). De las personas que han tomado cursos de matemáticas serias, o que han tomado cursos que hablan sobre matemáticas serias (por ejemplo, cursos de filosofía de las matemáticas) tienden a tener la impresión que tú tienes. La mayoría de los matemáticos, creo, entienden el contenido intuitivo de los axiomas/conceptos, y trabajan con eso en primer lugar; luego traducen este contenido intuitivo de regreso al nivel de rigor. ¡Pero esto no significa que todo en la lógica sea simplemente archivar documentos!

Answer 2

Imagina el siguiente escenario - nunca has programado en tu vida, y te enseñan las reglas ("axiomas") de un lenguaje de programación, y decides qué comandos son "permitidos" sin nunca haber escrito una línea de código. Entonces claro - terminarías pensando que programar no es más que un montón de axiomas.

Pero la realidad es que los lenguajes de programación fueron escritos con el propósito de resolver problemas de la vida real, y cuando un lenguaje de programación ya no te ayuda a llegar a los resultados deseados o cuando una tarea dada se vuelve demasiado compleja en ese lenguaje, inventas un nuevo lenguaje en el cual esa tarea sea más simple y más intuitiva.

Es lo mismo en matemáticas - los axiomas fueron construidos con un propósito, y cuando ya no sirven para describir las cosas que quieres crear, se inventan nuevos axiomas y nuevas notaciones para facilitar esto.

Answer 3

Compartí el mismo punto de vista. No fue hasta que tomé una clase llamada análisis complejo que abrí mi vista. La lógica ayuda a mostrar que un argumento es verdadero, pero no necesariamente $por qué$ una prueba es verdadera. Es posible que hayas encontrado un par de pruebas que hayas hecho mediante inducción. Si es así, es posible que no siempre haya tenido sentido por qué el teorema que probaste es cierto. Por ejemplo, en combinatoria, hay muchas identidades matemáticas utilizadas para contar cosas. ¿Es intuitivo por qué una identidad así es válida? La lógica nos permite pasar por alto la intuición y obtener y verificar resultados, a veces nuevos descubrimientos siguen lógicamente, pero en mi opinión, las matemáticas también son un arte construido a partir de ideas creativas y originales.

También debo agregar que las construcciones algorítmicas y el método probabilístico se están utilizando para demostrar cosas de manera no tradicional y con resultados sorprendentes.

Answer 4

La lógica y las matemáticas son herramientas, sí.

Piénsalo por analogía con el lenguaje natural. Si un amigo te pide argumentar que, por ejemplo, un sistema político es correcto a partir de un grupo de premisas (llamadas axiomas) como "cada persona debería tener libertad x", no simplemente verás cómo puedes manipular esas premisas basándote en reglas válidas de manipulación del lenguaje para encontrar una conclusión. Construirás una especie de imagen en tu cabeza y tratarás de expresarla en palabras después del hecho.

La lógica es un intento de extraer las reglas de manipulación del lenguaje que han estado presentes en nuestro lenguaje natural desde el primer día. Por ejemplo, Sócrates siempre argumentaba que si cada elemento de $B$ tiene cierta propiedad, y se conocen tanto $x \in A$ como $A \subseteq B$, entonces $x$ también tiene la propiedad. La lógica formal aún no se había concebido, pero su aplicación ya estaba en marcha.