Demuestre que dar una acción a la derecha de un grupo$G$ en un conjunto$A$ es lo mismo que dar una acción a la izquierda de$G^{op}$ en A

Question

Esta es una parte de un ejercicio de "Álgebra: Capítulo 0" de Paolo Aluffi. En primer lugar, me proporcionan las definiciones necesarias.

Una acción de un grupo de $G$ sobre un conjunto $A$ es una función

$\rho: G \times A \to A$

tal que $\forall g,h \in G \ \ \forall a \in A$ hemos

$\rho(e_G, a) = a, \ \ \ \rho(gh,a) = \rho(g, \rho(h,a))$

o, alternativamente,

Una acción de un grupo de $G$ sobre un conjunto $A$ es un homomorphism

$\sigma: G \to S_A$

donde $S_A$ denota el grupo simétrico de a $A$.

Podemos llamar a esto una izquierda-acción.

Un derecho de acción se podrían definir de la misma manera se espera que para "asociatividad" axioma:

$\forall a \in A \ \ \ \forall g,h \in G \ \ \ a(gh) = (ag)h$

Siguiente:

Un grupo opuesto $G^{op}$ de un grupo de $G$ es un grupo de $(G, \times )$ donde $a \times b = ba$.

Sé que $G^{op} \cong G$ $f, f(g) = g^{-1}$ ser un isomorfismo.

Ahora, necesito mostrar que un derecho de acción de $G$ sobre un conjunto a es el mismo que dar un homomorphism $G^{op} \to S_A$, es decir, a la izquierda de la acción de $G^{op}$$A$.

Alguna idea?

Answer 1

Lo de "el mismo" que significa es que existe un bijection entre el conjunto de la izquierda acciones de $G$ $A$ y el conjunto de acciones correctas de $G$$A$.

Por lo tanto queremos encontrar un mapa $\lambda\mapsto\lambda^r$ y un mapa de la $\rho\mapsto\rho^l$ tal que, para una acción izquierda $\lambda$, $\lambda^{rl}=\lambda$ y, para una acción correcta, $\rho^{lr}=\rho$.

Dada una acción izquierdo $\lambda$, definir $\lambda^r\colon A\times G\to A$ por $$ \lambda^r(a,g)=\lambda(g^{-1},a) $$ Verificar que el $\lambda^r$ es un derecho de acción es fácil. La definición de $\rho^l$ es similar: $$ \rho^l(g,a)=\rho(a,g^{-1}) $$ La comprobación de que $\lambda^{rl}=\lambda$ $\rho^{lr}=\rho$ es trivial.

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Hacerlo con homomorphisms es fácil, demasiado. Si $\sigma\colon G\to S_A$ es un grupo homomorphism, entonces $$ \sigma^\circ\colon G^{\mathrm{op}}\a S_A $$ definido por $$ \sigma^{\circ}(g)=\sigma(g^{-1}) $$ es un grupo homomorphism.

Acabado el argumento.

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Asociando a la izquierda de la acción $\lambda$ un homomorphism $\bar\lambda\colon G\to S_A$ es fácil: $\bar\lambda(g)$ es el mapa $A\to A$ envío de $a$$\lambda(g,a)$.

Del mismo modo para asociar a un derecho a la acción de un homomorphism $G^{\mathrm{op}}\to S_A$.

Answer 2

El isomorfismo$G\cong G^\mathrm{op}$ significa que cada elemento de$G$ tiene un elemento correspondiente de$G^\mathrm{op}$.

Digamos que tenemos una acción correcta de$G$ en$A$. Supongamos que$g\in G$ es algún elemento. Queremos que el elemento correspondiente de$G^\mathrm{op}$ (¿cuál es qué?) Actúe a la izquierda en$A$ de la misma manera que$g$ actúe a la derecha en$A$. ¿Puedes usar esto para escribir una definición?