La media de $X_iX_j (i\neq j)$ va a $\mathbb E(X)^2$ en la probabilidad

Question

Supongamos que $(X_n)_n\geq 1$ son i.i.d. $\mathbb E(X)=\mu$ , $\sigma^2= \operatorname{Var}(X)<\infty$ . Quiero mostrar $$\frac 1 {n(n-1)} \sum_{1\,\leq\, i,j\,\leq\, n,\,\, i\,\neq\, j} X_iX_j\to \mu^2$$ en la probabilidad.

Esto es lo que he probado.

Aplicando la ley fuerte de los grandes números tenemos $$\frac 1 {n^2} \left( \sum_{1\leq i\leq n} X_i\right)^2\to \mu^2$$ en la probabilidad. Para todos los $\epsilon>0$ , $\mathbb P(|1/n^2(\sum_{1\leq i\leq n} X_i)^2-\mu^2|\geq\epsilon)\to 0$ . Expandiendo esto tenemos $\mathbb P(|(\sum_{1\leq i,j\leq n, i\neq j} X_iX_j-n(n-1)\mu^2+\sum_{1\leq i\leq n}X_i^2-n\mu^2|\geq n^2\epsilon)\to 0$ . No sé cómo proceder a partir de aquí. En particular, me pregunto cómo utilizar Var $(X)<\infty$ .

Answer 1

Escribe

$$\sum_{1\leq i,j\leq n,i\neq j}X_{i}X_j=(\sum_{i=1}^nX_i)^2-\sum_{i=1}^nX_i^2.$$

Dividir ambos lados por $n^2$ . El primer término de la derecha va a $\mu^2$ casi seguro. Para el segundo término, $E[X_i^2]=\mbox{Var}(X_i)+E[X_i]^2=<\infty$ . Por SLLN el segundo término irá a 0 ya que hay un factor de $n^2$ . Ahora utiliza la linealidad de límites casi seguros para concluir que todo el lado derecho va a $\mu$ . Por último, observe que $n(n-1)/n^2\rightarrow 1$ para concluir que se puede sustituir $n^2$ con $n(n-1)$ .