Cómo enumerar los subgrupos de cada orden de $S_4$ a mano

Question

Me gustaría contar los subgrupos de cada orden (2, 3, 4, 6, 8, 12) de $S_4$ , y, con suerte, convencer a los demás de que los he contado correctamente. En para hacer esto a mano en el examen trimestral, necesito una forma inteligente de hacerlo porque puede haber tantos subgrupos de un grupo de orden 24 como $2^{23}$ .

¿Sabes cómo hacerlo?

(Te agradecería mucho que me dijeras qué parte de la respuesta a la pregunta anterior responde a mi pregunta antes de votar para cerrar).

Answer 1

Por el teorema de Lagrange, el orden de un subgrupo divide a 24, así que buscamos subgrupos de órdenes 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Recorremos la lista, utilizando a menudo los teoremas de Sylow:

• Los subgrupos de orden 1 y 24 son obviamente únicos.

Los subgrupos de orden 2 están en correspondencia 1-1 con elementos de orden 2, por lo que se obtienen 4-elegir-2 = 6 transposiciones $\langle (i,j) \rangle$ y 4 elecciones de 2 sobre 2 = 3 transposiciones dobles $\langle (i,j)(k,l) \rangle$ .

• Nueve subgrupos de orden 2, todos cíclicos, dos clases de conjugación

Por el teorema de Sylow los subgrupos de orden 3 son todos conjugados, por lo que $\langle (1,2,3) \rangle$ , $\langle (1,2,4) \rangle$ , $\langle (1,3,4) \rangle$ y $\langle (2,3,4) \rangle$ .

• Cuatro subgrupos de orden 3, todos conjugados al grupo alterno de grado 3

La talla 4 es desordenada, así que la retraso.

Un subgrupo de orden 6 debe tener un subgrupo Sylow 3 normal, por lo que debe vivir dentro del normalizador (dentro de S4) de un subgrupo Sylow 3. Los subgrupos Sylow 3 no son más que los diversos grupos alternos de grado 3, y sus normalizadores son diversos grupos simétricos de grado 3, por lo que son exactamente los 4 subgrupos de orden 6.

• cuatro subgrupos de orden 6, $\langle (i,j), (i,j,k) \rangle$ parametrizado por conjuntos $\{i,j,k\} \subset \{1,2,3,4\}$ de tamaño 3.

Todos los subgrupos de orden 8 son conjugados por el teorema de Sylow, por lo que sólo tenemos $\langle (i,k), (i,j,k,l) \rangle$ que es diédrico.

• tres subgrupos de orden 8, todos conjugados, todos diédricos

Un subgrupo de orden 4 es un subgrupo de un subgrupo Sylow 2, por lo que o bien es cíclico $\langle (i,j,k,l) \rangle$ o uno de los dos tipos de subgrupos de Klein 4 $\langle (i,j), (k,l) \rangle$ (3 subgrupos), o el verdadero K4 $\langle (i,j)(k,l), (i,k)(j,l) \rangle$ (normal).

• siete subgrupos de orden 4, tres clases de conjugación

Un subgrupo de orden 12 tiene un subgrupo normal de Sylow 2 (y los únicos subgrupos de orden 4 con normalizadores que tienen elementos de orden 3 son K4 con normalizador A4) o un subgrupo normal de Sylow 3, pero en este último caso el normalizador de un subgrupo de Sylow 3 es sólo de tamaño 6, no 12.

• un subgrupo de orden 12, el grupo alterno de grado 4

Esos eran todos los órdenes posibles, y para cada orden probamos que cualquier subgrupo de ese orden tenía una forma específica, y luego contamos cuántos tenían esa forma.

Answer 2

Bueno, el primer paso sería escribir $S_4$ :

$$ S_4=\{(1), (12), (13), (14), (23), (24), (34), (123), (132), (142), (124), (134), (143), (234), (243), (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432), (12)(34), (13)(24), (14)(23)\} $$

Ya es un subgrupo menos (faltan 29).

A continuación, consideremos los subgrupos isomorfos a ${\mathbb Z_2}$ . Es cualquier elemento de orden $2$ (de la lista siguiente) y la identidad (9 en total):

$$ (12), (13), (14), (23), (24), (34), (12)(34), (13)(24), (14)(23) $$

Pasar a los isomorfos de ${\mathbb Z_3}$ . Hay ocho $3$ -ciclos en $S_4$ y cada subgrupo único debe contener dos de ellos, por lo que hay un total de 4.

Ahora, ${\mathbb Z_4}$ . Considere $\langle (1234) \rangle$ . Tenemos $\{(1),(1234),(13)(24),(1432) \}$ y dos más como esta.

A partir de aquí, sigue recorriendo la lista. Piensa en qué elementos necesitas para formar un tipo de isomorfismo concreto y luego calcula de cuántas maneras puedes formar cada tipo. Por ejemplo, si tienes un subgrupo isomorfo a $D_8$ se necesitará un subgrupo cíclico de orden $4$ (tenemos tres de ellos) y 4 elementos de orden $2$ .

Incluyendo lo que ya tenemos, debería haber 4 subgrupos isomorfos al grupo 4 de Klein (cada uno contiene 3 elementos de orden $2$ ), 4 a $S_3$ (piense en esto como la elección de 3 elementos de $\{1,2,3,4\}$ y considerando las permutaciones sobre este nuevo conjunto de tres símbolos), 3 a $D_8$ (de nuevo, estamos limitados por el "subgrupo de rotaciones" cíclico, $A_4$ será el único subgrupo de orden $12$ y no olvides $\{(1)\}$ .

Answer 3

Sé que llego tarde pero esto puede ser útil para la gente que viene aquí buscando una respuesta.

Para encontrar todos los subgrupos, hay que recorrer cada elemento y ver lo que genera. Para empezar, enumera el grupo

S4={(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(132),(142),(124),(134),(143),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

Iterar a través de cada elemento y ver lo que genera. Para averiguar lo que genera un elemento, lo multiplicas por sí mismo hasta obtener la identidad. Todos los elementos que obtengas al multiplicar forman parte del subgrupo. La cantidad de veces que necesites hacer esto será el orden, o el número de elementos del subgrupo. Aquí tienes algunos ejemplos de cómo generar un subgrupo.

<(1)> = {(1)}

---

<(1 2)> = {(1), (1 2)}

(1 2)(1 2) = (1)

---

<(1 3)> = {(1), (1 3)}

(1 3)(1 3) = (1)

---

<(1 2 3)> = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}

(1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2)

(1 2 3)(1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2)(1 2 3) = (1)

---

<(1 2 3 4)> = {(1), (1 2 3 4), (2 4)(1 3), (1 4 3 2)}

(1 2 3 4)(1 2 3 4) = (2 4)(1 3)

(1 2 3 4)(1 2 3 4)(1 2 3 4) = (1 4 3 2)

(1 2 3 4)(1 2 3 4)(1 2 3 4)(1 2 3 4) = (1)

---

<(1 2)(3 4)> = {(1),(1 2)(3 4)}

(1 2)(3 4)(1 2)(3 4) = (1)

---

Algunos de los subgrupos generados estarán duplicados. Sin embargo, no habrá más de 4!=24 porque ese es el número de elementos que hay para generar subgrupos.

Espero que esto haya servido de ayuda y que me digan si he cometido algún error.