Sobre declaraciones independientes de ZFC + V=L

Question

Sea $V=L$ denota el axioma de constructibilidad. ¿Existen interesante ejemplos de enunciados de la teoría de conjuntos independientes de $ZFC + V=L$ ? ¿Y cómo se construyen esas pruebas de independencia? La dificultad (aparente) es la siguiente: Sea $\phi$ ser independiente de $ZFC + V=L$ . Queremos modelos de $ZFC + V=L + \phi$ y $ZFC + V=L + \neg\phi$ . Un modelo interno no funciona para ninguno de los dos ya que el único modelo interno de $ZFC + V = L$ es $L$ y lo que sea $ZFC$ puede demostrar que se mantiene en $L$ es consecuencia de $ZFC + V=L$ . Los modelos de forzamiento tampoco sirven, ya que todos satisfacen $V \neq L$ .

Answer 1

Hay numerosos ejemplos de tales declaraciones. Vamos a organizar algunos de ellos en varias categorías.

En primer lugar, existe la jerarquía de gran cardenal axiomas que son relativamente consistentes con V=L. Ver la lista de grandes cardenales. Todas de las siguientes afirmaciones son demostrablemente indpendent de ZFC+V=L, suponiendo la consistencia de la relevante del gran cardenal axioma.

• Hay un cardinal inaccesible.

• Hay un Mahlo cardenal.

• No es débilmente compacto cardenal.

• Hay un indescriptible cardenal.

• y así sucesivamente, para todos los grandes cardenales que pasan a ser relativamente consistente con V=L.

Todos estos son independientes de ZFC+V=L, suponiendo que el gran cardenal es consistente con ZFC, porque si tenemos una gran cardenal en V, entonces en cada uno de estos casos (y muchos más), el gran cardenal conserva su gran cardenal de la propiedad en L, por lo que obtener la consistencia con V=L. por el Contrario, es coherente con V=L que no hay grandes cardenales, ya que podríamos picar el universo fuera al menos inaccesible cardenal.

En segundo lugar, incluso para los grandes cardenal propiedades que no son consistentes con V=L, se puede hacer la consistencia de la declaración, que es una media aritmética declaración de tener el mismo valor de verdad en V como en L.

• Con(ZFC)

• Con(ZFC+ "no es un cardinal inaccesible')

• Con(ZFC+ "no es un Mahlo cardenal')

• Con(ZFC+ "no es un cardinal medible')

• Con(ZFC+ "no es un supercompact cardenal').

• y así sucesivamente, para cualquier gran cardenal de la propiedad. Con(ZFC+gran cardenal de la propiedad).

Todos estos son independientes de ZFC+V=L, suponiendo que el gran cardenal es consistente con ZFC, puesto que, por un lado, si W es un modelo de ZFC+Con(ZFC+phi), entonces L^W es un modelo de ZFC+V=L+Con(ZFC+phi), como Con(ZFC+phi) es una instrucción aritmética. Y por otro lado, por el teorema de la Incompletitud, no deben de ser modelos de ZFC+Con(ZFC+phi), y las L de un modelo de este tipo se han ZFC+V=L+Con(ZFC+phi).

Tercero, hay un interesante truco relacionado con el teorema de Mathias que Dorais menciona en su respuesta. Para cualquier declaración de phi, la afirmación de que hay una contables fundada modelo de ZFC+phi es una Sigma¹₂ declaración, y por lo tanto absoluta entre V y L. Y la existencia de una contables fundada modelo de una teoría es equivalente por el Lowenheim-Skolem el teorema de la existencia de una bien fundada modelo de la teoría. Por lo tanto, la verdad de cada una de las siguientes afirmaciones es la misma en V como en L.

• Hay una bien fundada establecer un modelo de ZFC. Esto es equivalente a la afirmación: hay un ordinal α tal que L_α es un modelo de ZFC.

• Hay una bien fundada establecer un modelo de ZFC con CH. (Esto también es equivalente a la declaración anterior.)

• Hay una bien fundada establecer un modelo de ZFC con el Axioma de Martin.

• y así sucesivamente. Para todas las declaraciones que se sabe para ser forceable, usted puede pedir una bien fundada modelo de conjunto de la teoría.

• Hay una bien fundada establecer un modelo de ZFC con un cardinal inaccesible.

• Hay una bien fundada establecer un modelo de ZFC con un cardinal medible.

• Hay una bien fundada establecer un modelo de ZFC con un supercompact cardenal.

• y lo mismo para cualquier gran cardenal noción.

Todos estos son independientes de ZFC=V=L, ya que son independientes de ZFC, y su verdad es la misma en V como en L. me parece bastante notable que no puede ser un modelo de V=L que tiene un modelo transitivo de ZFC+ "no es un supercompact cardenal'. La lección básica es que el L de un modelo con una enorme ampliación de los cardenales tiene propiedades muy diferentes y tipos de objetos que hay en ella de un modelo de V=L derivadas de otros lugares. Y creo que este llega al corazón de su pregunta.

Puesto que todas estas declaraciones se estudia mucho en la teoría de conjuntos, y son muy interesantes, y son independientes de ZFC+V=L, considero positivo instancias de lo que fue solicitado.

Sin embargo, ¿cómo se relaciona esto con Sela vista en Dorais excelente respuesta? Parece que hay que despedir a la totalidad de la clase de consistencia fuerza declaraciones como la combinatoria en el disfraz. ¿Qué quiere decir exactamente? Desde que hemos creado teóricos están muy interesados en estas declaraciones, no creo que él significa para despedirlos como tontos trucos con el teorema de la Incompletitud. Tal vez él quiere decir algo así como: en la medida en que creemos que un gran cardenal de la propiedad de la LC es consistente, entonces realmente no queremos considerar la teoría ZFC+V=L, sino más bien, la teoría ZFC+V=L+Con(LC). Es decir, no estamos tan interesados en los modelos que tienen el mal de la aritmética de la teoría, por lo que insistimos en que Con(LC) si estamos comprometidos a que. Y ninguno de los ejemplos que he dado exhibición independencia de que la teoría correspondiente.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Si ponemos la recurrencia de Fibonacci en forma de matriz, el resultado es obvio, a saber.

$$ M^n\ :=\ \left[\begin{array}{rr} \!\!1 & 1 \\\ \!\!1 & 0 \end{array}\right]^{\large n} =\, \left[\begin{array}{cc} F_{n+1} &\!\! F_n \\\ F_n &\!\! F_{n-1} \end{array}\right] $$

Ahora comparando las entradas de $\ M^{n+m} = M^n \ M^m\,$ se obtiene inmediatamente la ley de adición de Fibonacci.

Observación $\ M$ es el operador de desplazamiento, es decir $\,(F_{n−1},F_n)M^t = (F_n,F_{n+1}).\,$ La misma idea funciona para cualquier recurrencia lineal.

Answer 3

Lo que yo llamaría el estándar de la fuente de los ejemplos es el de la serie de muy agradable "finitary" combinatoria declaraciones que Harvey Friedman ha estado trabajando. Usted puede ver la abundancia de tales declaraciones en su serie numerada de FOM puestos, y para los detalles de algunos de los argumentos, véase, por ejemplo, su papel bonito "Finito de Funciones y el Uso Necesario de los Grandes Cardenales", Anales de Matemáticas., Vol. 148, Nº 3, 1998, pp 803-893.

Los ejemplos Harvey analiza son la aritmética. En el "verdadero" modelo (que está bien fundada) en la que se resuelvan de una manera, y no están mal fundada (de hecho, no $\omega$-) de los modelos en los que se decidió de otra manera.

Sería muy deseable contar con ejemplos de niza aritmética de las declaraciones que no sólo independiente, sino para que podemos producir diferentes respuestas en diferentes fundada modelos. No creo que alguien tiene alguna pista en el momento en cómo hacer tal cosa. Para lograr esto sería semejante a la invención de forzar.