¿Qué es un espacio vectorial? Puedo ver dos formulaciones diferentes, y entre ellas hay una diferencia: la conmutatividad.
DEFINICIÓN 1 (Ver aquí )
Dejemos que $(F, +_F, \times_F)$ sea un anillo de división. Sea $(\mathcal{V}, +_\mathcal{V})$ sea un grupo abeliano. Sea $(\mathcal{V}, +_\mathcal{V}, \cdot)_F$ sea un módulo unitario sobre $F$ . Entonces $(\mathcal{V}, +_\mathcal{V}, \cdot)_F$ es un espacio vectorial sobre $F$ . Es decir, un espacio vectorial es un módulo unitario sobre un anillo, cuyo anillo es un anillo de división.
DEFINICIÓN 2
Dejemos que $(F, +_F, \times_F)$ sea un campo. Sea $(\mathcal{V}, +_\mathcal{V})$ sea un grupo abeliano. Sea $\cdot: F\times \mathcal{V} \longrightarrow \mathcal{V}$ sea una función. Un espacio vectorial es $(\mathcal{V}, +_\mathcal{V}, \cdot)_F$ tal que $\forall a,b, \in F$ y $\forall x,y \in \mathcal{V}$ :
- $\cdot$ distributiva correcta: $(a +_F b) \cdot x = (a\cdot x) +_\mathcal{V} (b\cdot x)$
- $\cdot$ distributiva de la izquierda: $\,\,\, a \cdot (x +_\mathcal{V} y) = (a\cdot x) +_\mathcal{V} (a\cdot y)$
- $\cdot$ compatible con $\times_F$ : $(a\times_F b) \cdot x = a \cdot (b\cdot x)$
- $\times_F$ La identidad de la empresa es $\cdot$ de la identidad: $1_F \cdot x = x$
También podría haber otras definiciones, pero por ahora no importa. Lo que importa es que la conmutatividad no se considera de la misma manera en ambas definiciones. En la primera definición, tenemos un anillo de división (no un anillo de división conmutativo, es decir, un campo), mientras que en la segunda tenemos un campo (es decir, un anillo de división conmutativo).
Obsérvese que la diferencia clave en la que me estoy esforzando es que por un lado tenemos un anillo de división y por otro un anillo de división conmutativo. El primero es un grupo abeliano $(R, +_R)$ bajo la $+_R$ operación binaria, sin embargo $(R, \times_R)$ es sólo un grupo (es decir, no abeliano, es decir, no conmutativo).
3 votos
En lugar de un enorme muro de texto, esta pregunta podría tener una sola frase.
2 votos
Lo sé, pero me costó muchísimo encontrar un conjunto coherente de definiciones, así que las pongo aquí porque creo que tener definiciones coherentes es el 99% de lo que se necesita para entender las matemáticas
0 votos
Pero este hilo no es una enciclopedia. Ninguna de estas definiciones es relevante para su pregunta.
0 votos
Voy a recortarlo a sólo unos pocos, pero todos lo son, este es un extracto de cómo pasé de literalmente nada (lógica y cuantificadores) a los espacios vectoriales, estas definiciones todas traen a los espacios vectoriales, pero bueno voy a recortarlo
1 votos
Tal vez deberías preguntar qué propiedades/teoremas de los espacios vectoriales siguen siendo válidos para los módulos sobre anillos de división. La mayoría de ellos sí: por ejemplo, podemos tener bases, dimensión bien definida, dependencia lineal, etc.
0 votos
@Berci ¿dónde puedo encontrar qué propiedades / teoremas se cumplen? ¿Tienes algún recurso?
8 votos
@Christoph Pensé que estabas exagerando hasta que miré rev #1 .
2 votos
Cada persona tiene una definición diferente. Al igual que algunas personas ven la existencia de un $1$ -como parte de la definición de un anillo, mientras que otros no lo hacen. Como se ve en la respuesta de Bernard, algunas personas ven un anillo de división (campo sesgado) como un tipo de campo. Lo que preguntas, es sólo una cuestión de convenciones. Su pregunta ya muestra que existen diferentes convenciones para determinar si un módulo sobre un anillo de división $K$ debería llamarse $K$ -espacio vectorial, o si ese nombre debe reservarse para los "campos conmutativos". Lo averiguarás por el contexto. Utiliza la convención que te guste a ti y a tus compañeros.