Tamaño de una pila de arena.

Question

Introducción

Hay una estructura llamada pila de arena. Vamos a presentar de la siguiente manera. Supongamos que tenemos un conjunto de todos los puntos $\mathbb{Z}^2$. A continuación, tenemos una función de $g:\mathbb{Z}^2 \rightarrow\mathbb{N}$, lo que muestra cómo muchos granos están en el punto de $(x,y).$ También, hay un número de un máximo posible de granos en un punto que deja a punto estable. Denominaremos a este número a través de $T$ (umbral). Ahora ejecute el siguiente algoritmo:

1. si $g(x,y) > T$ a continuación, reste 4 granos de $(x,y)$ y añadir un grano a cada vecino de $(x,y)$ es decir $(x\pm 1, y)$$(x, y\pm 1)$.
2. si no hay puntos de con $g(x,y) > T$ terminar. Otra cosa, empiece con el paso 1.

Ejemplo sencillo con $T=4$ y a partir de la cantidad de granos $S$ (semilla) en $(2,2)$ es igual a 11 mostraron a continuación. $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 11 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\ 2 & 3 & 2\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Más información sobre esto aquí

Pregunta

Supongamos que tenemos pila de arena con $T=t$ $S=n_0$ a (0,0). Nos deja denotar tal sandpiles a través de $\Delta(n_0;t)$. Mi pregunta es

Dada una pila de arena $\Delta(n_0;t)$ encontrar el tamaño de la pila de arena, donde $$\text{size} := |\Delta(n_0;t)| =\max_{g(x,y)>0}|x|=\max_{g(x,y)>0}|y|$$

Intenta

Algunas de las razones que me llevan a la respuesta $$|\Delta(n_0;t)| \leq 3\log_{4}\frac{n_0}{t} + 1,$$ pero los resultados empíricos que decir que para lo suficientemente grande $n_0$ no es cierto.

Fotos

Aquí hay algunas fotos que hice con la Salvia. El color más oscuro, el más granos en píxeles. Las tres primeras fotos con el umbral es igual a 4, los dos últimos - 3.

Answer 1

Así que esto no responde a la pregunta plenamente, pero da algunas ideas que son demasiado largos para los comentarios.

Tenga en cuenta que parece (y yo no lo he probado) que el área cubierta siempre va a ser casi un diamante centrada en el origen, es decir, $$\begin{pmatrix}0&0&x&0&0\\0&x&x&x&0\\x&x&x&x&x\\0&x&x&x&0\\0&0&x&0&0\end{pmatrix}$$ Esto cubre $2n^2+2n+1$ lugares donde:$n=|\Delta(n_0;t)|$. Una muy áspera límite superior, a continuación, vendría de la suposición de que todos los lugares que contienen 1 de grano. Esto le da a $(2n^2+2n+1)=n_0$ y resolviendo $n$ te sería muy muy groso $O(\sqrt{n_0})$ asintóticamente. Ahora estimación más razonable aunque no es un obligado sería adivinar casi todos ellos están llenos decir, a resolver los $t(2n^2+2n+1)=n_0$, lo que pone algo en el orden de $O(\sqrt{n_0/t})$ Mientras que este no parece que será una perfecta límite parece más razonable, a continuación, una $\log$.

Voy a tratar de explicar. Suponiendo que el proceso se comporta bastante razonable, y no veo por qué no debería, asumiendo $n_0$ es mucho más grande, a continuación, $t$ parece el centro del diamante se debe principalmente a $t$'s. No podría ser de salsas a pesar de que parece difícil de cuantificar, ya que el comportamiento no parece ser muy suave. Mirando a su original $t=4$ usted puede obtener la media a ser cualquier cosa desde $1-4$ dependiendo del resto.

Pensando acerca de esto más aún, a pesar de que la elección de $4$ $t$ también puede ser especial dado que el $4$ es el número de vecinos.