Número generalizado de Fibonacci

Question

Permita que el número de Fibonacci generalizado: $$\begin{cases} a_0=p_0 \\ a_1=p_1 \\ a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_n \end{cases}$$ Prove that if for $ C, D> 0$: $ | a_ {n} | \ le CD ^ n$ then for $ R \ in (\ frac {-1 } {D}, \ frac {1} {D})$ the series is convergent. Then let $ f$ - the sum on the entire convergence interval $ f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n $

Mi intento: $$\frac{1}{R}=\lim_{n\rightarrow =\infty}\sup |a_n|\le \lim_{n\rightarrow =\infty}\sup \sqrt[n]{CD^n} = D$ $ $$\frac{1}{R}=\lim_{n\rightarrow =\infty}\sup |a_n|\ge \lim_{n\rightarrow =\infty}\sup -\sqrt[n]{CD^n} = -D$$ So: $$R \in (-\frac{1}{D},\frac{1}{D})$$ However I don't know if this prove is good so I please about check.

Moreover I don't know how I can calculate $ f $ . ¿Me puedes ayudar?

Answer 1

Sugerencia: si $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ , encuentra una relación entre $f(x)$ , $x f(x)$ y $x^2 f(x)$ .

Answer 2

La expansión en la pista proporcionada en la respuesta por Robert Israel, tenga en cuenta que es mucho más fácil comparar los valores de $f(x)$, $xf(x)$ e $x^2 f(x)$ después de la primera ajustarlos para que cada uso de una serie infinita con los mismos exponentes de $x$. En particular, se puede reescribir de la siguiente manera:

$$f(x) = a_0 + a_1 x + \sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2} x^{n+2} \tag{1}\label{eq1}$$ $$xf(x) = a_0 x + \sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1} x^{n+2} \tag{2}\label{eq2}$$ $$x^2 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n} x^{n+2} \tag{3}\label{eq3}$$

Con estas ecuaciones, se puede utilizar la definición recursiva para $a_{n+2}$ para determinar una ecuación de la que usted puede conseguir $f(x)$ en forma cerrada.