¿Por qué el énfasis en el espacio proyectivo en la geometría algebraica?

Question

No me cabe duda de que se trata de una cuestión básica. Sin embargo, estoy trabajando en el libro de Miranda sobre superficies de Riemann y curvas algebraicas, y todavía no se ha abordado.

¿Por qué Miranda (y por lo poco que he visto, los geómetras algebraicos en general) hace tanto hincapié en el espacio proyectivo cuando estudia las curvas algebraicas? ¿Por qué es éste el escenario natural para llevar a cabo la geometría algebraica?

Además, los espacios proyectivos y las curvas en ellos me resultan difíciles de visualizar, y en general no tengo ninguna buena intuición sobre estos objetos. ¿Los geómetras algebraicos que trabajan simplemente no visualizan tanto las cosas, o hay algunas buenas interpretaciones de los espacios proyectivos y las curvas algebraicas que me estoy perdiendo y que las harían parecer más naturales y me darían más intuición sobre ellas?

Answer 1

La respuesta más adecuada dependerá de por qué está trabajando en un libro sobre superficies de Riemann y curvas algebraicas, pero intentaré dar algunas sugerencias.

Ya que mencionas las superficies de Riemann, empecemos con alguna analogía con los colectores suaves. El teorema de incrustación de Whitney dice que cualquier variedad suave se puede incrustar en $\mathbb{R}^N$ para $N$ suficientemente grande, por lo que siempre podemos pensar en una variedad suave como un submúltiple de $\mathbb{R}^N$ . Esto ayuda ocasionalmente a la intuición y la visualización, y puede simplificar algunas construcciones.

En el caso de las variedades complejas (por ejemplo, las superficies de Riemann), cabe preguntarse si lo mismo es cierto holomórficamente es decir, si cualquier colector complejo puede ser incrustado holomórficamente en $\mathbb{C}^N$ para $N$ suficientemente grande. Resulta que normalmente la respuesta es no. Es una consecuencia fácil del teorema de Liouville que ninguna variedad compleja compacta es un submanifold complejo de $\mathbb{C}^N$ . Si sólo te interesan las variedades complejas compactas, entonces $\mathbb{CP}^N$ resulta ser la mejor posible (véase, por ejemplo, el teorema de incrustación de Kodaira, que caracteriza qué variedades complejas compactas son submanifolds complejos de $\mathbb{CP}^N$ ).

Si tu motivación es el estudio de las soluciones de las ecuaciones polinómicas, entonces, como se ha mencionado en otras respuestas y comentarios, los espacios proyectivos son las terminaciones apropiadas del espacio afín que permiten el mayor número de soluciones posible, permitiendo que varias fórmulas (por ejemplo, las intersecciones de couting) funcionen sin calificación adicional.

Sobre la visualización: para las curvas en $\mathbb{CP}^2$ , primero toma algún gráfico afín $\mathbb{C}^2 \subset \mathbb{CP}^2$ y luego mirar la intersección con alguna "tajada real" $\mathbb{R}^2 \subset \mathbb{C}^2$ . Por ejemplo, si observamos la curva en $\mathbb{CP}^2$ dado por el conjunto cero de $x^2-yz$ trabajando en el gráfico afín $z\neq0$ esto se convierte en $y = x^2$ en $\mathbb{C}^2$ y si restringimos a lo real $x,y$ obtenemos una parábola.

Answer 2

La razón por la que se trabaja en el espacio proyectivo es para que haya "tantas soluciones como sea posible" a las ecuaciones polinómicas.

Hay dos formas básicas en las que una ecuación polinómica (o sistema de ecuaciones) puede acabar sin soluciones. Una forma es que usted tiene una ecuación que no tiene solución sobre su campo (por ejemplo, $x^2+1=0$ cuando se trabaja sobre los reales) pero tiene solución sobre un campo mayor; esto se resuelve pasando a un campo algebraicamente cerrado, como los números complejos. El otro caso problemático es la ecuación $0=1$ . Este caso no se puede resolver cambiando de campo, sino que se resuelve pasando del espacio afín al espacio proyectivo.

Por ejemplo, consideremos las 2 ecuaciones $x+y=1$ y $x+y=2$ . Si tratas de resolverlos simultáneamente, obtienes la contradicción $0=1$ Así que no hay solución. Pero si se trabaja en el plano proyectivo, hay una solución. Geométricamente, se trata de 2 rectas paralelas, que se cruzan en el punto en el infinito correspondiente a la dirección de las rectas paralelas. Algebraicamente, si pensamos en estas ecuaciones en el plano proyectivo con coordenadas proyectivas $[x:y:z]$ entonces las ecuaciones se convierten en $x+y=z$ y $x+y=2z$ que tienen la intersección $[1:-1:0]$ .

Answer 3

Dado que ha habido excelentes respuestas en por qué uno debe trabajar en el espacio proyectivo, permítanme añadir algunos comentarios sobre cómo visualizarlo.

Probablemente conozcas el espacio afín $A^n$ se sienta en $P^n$ naturalmente: el complemento de cualquier hiperplano en $P^n$ es isomorfo a $A^n$ . Denotemos las coordenadas afines por $x_1, \ldots, x_n$ y las proyectivas por $z_0, \ldots, z_n$ y empotrar $A^n$ en $P^n$ enviando $(x_1,\ldots, x_n)$ a $[1:x_1:,\ldots,x_n]$ . es decir $A^n = [x_0 \neq 0]$ .

Ahora es fácil ver que $[x_0 = 0] \subset P^n$ es isomorfo a $P^{n-1}$ por lo que derivamos $$ P^n = A^n \cup P^{n-1} $$ como conjuntos.

Podemos pensar en esto $P^{n-1}$ como los "puntos en el infinito", es decir, las diferentes "direcciones" sobre cómo viajar al infinito en el espacio afín. Por ejemplo, cualquier línea en $A^n$ se encuentra con los puntos en el infinito exactamente en un punto correspondiente a su pendiente (por eso las líneas paralelas en $A^n$ que tienen la misma pendiente, se encuentran en el mismo punto en el infinito). Otro ejemplo sería una parábola $y=x^2$ cuando vamos al infinito, la dirección de la tangente de la gráfica acabará siendo casi vertical, por eso su punto en el infinito es $[0:1:0]$ (para ello homogeneizar a $yz = x^2$ y establecer $z=0$ ).

Por último, me resulta fácil visualizar el conjunto $P^n$ como el cociente de la n-esfera con los puntos anitpodales identificados, más concretamente eligiendo un conjunto de representantes como la hemisfera inferior más el ecuador (donde por supuesto todavía tenemos que identificar en el ecuador). Así que si n=2 y nuestro campo son los reales, podemos elegir la 2-esfera que es fácilmente visualizable. Ahora bien, si nos limitamos al hemisferio inferior y al ecuador, encontramos un representante para cada línea que pasa por el hemisferio inferior, y en el ecuador seguimos necesitando identificar puntos. Podemos ver que el hemisferio inferior (excluyendo el ecuador) es $A^2$ y los puntos del ecuador son los puntos del infinito: $P^1$ . También está claro por qué las líneas paralelas se encuentran, convergen al mismo punto en el ecuador.

Espero que esto haya sido útil.

Joachim

Answer 4

Esta es una respuesta menos elemental, pero creo que vale la pena considerarla.

(1) Como dijo otra persona, el espacio proyectivo permite "tantas soluciones como sea posible". Esto se precisa en el teorema de Bézout de manera elegante: si $X,Y\subset\Bbb{P}^n$ son hipersuperficies irreducibles distintas, entonces $$\sum_{P\in X\cap Y}i(P, X\cap Y)=\deg(X)\cdot \deg(Y),$$

donde $i(P, X\cap Y)$ es el índice de intersección de $X,Y$ en $P$ . Los índices de intersección pueden definirse en $\Bbb{A}^n$ pero la bonita igualdad anterior sólo funciona en $\Bbb{P}^n$ .

Así que el teorema de Bézout sólo es posible en el espacio proyectivo.

(2) Una de las herramientas utilizadas en las superficies de Riemann son los divisores, muy utilizados en la geometría algebraica. Aunque los divisores pueden definirse en variedades afines, la cosa funciona especialmente bien en variedades proyectivas.

Para un ejemplo sencillo, dejemos que $C\subset \Bbb{P}^2$ sea una curva proyectiva suave. Para cada función $f\in k(C)$ el divisor $\text{div}(f)$ que consiste en todos los ceros menos todos los polos de $f$ tiene grado cero y si $f$ no tiene ceros ni polos, entonces $f$ es constante. En particular, el espacio de Riemann-Roch $\mathcal{L}(0)=\{f\in k(C)\mid \text{div}(f)\geq 0\}$ es el espacio de las constantes. Por supuesto, podemos hablar del teorema de Riemann-Roch, que relaciona $\dim \mathcal{L}(D), \deg D$ y el género $g$ .

Todo esto sólo tiene sentido porque la curva es proyectiva.

(3) Otra herramienta muy importante en la geometría algebraica es la cohomología de gavillas. Si $X$ es un esquema afín y $\mathcal{F}$ es una gavilla cuasi-coherente, entonces el teorema de desaparición de Serre dice que $$H^i(X,\mathcal{F})=0\text{ for all }i>0,$$

que significa esencialmente "los esquemas afines son cohomológicamente triviales".

Pero en los esquemas proyectivos hay acción real. Por poner un ejemplo sencillo, se puede demostrar que $$h^n(\Bbb{P^n},\mathcal{O}_{\Bbb{P^n}}(d))=\binom{-d-1}{n},\text { for }d\leq -(n+1)$$ $$\chi(\Bbb{P^n},\mathcal{O}_{\Bbb{P^n}}(d))=\frac{(d+1)(d+2)...(d+n)}{n!} \text{ for all }d\in\Bbb{Z}$$

donde $\chi$ es la suma alternada de los $h^i(\Bbb{P^n},\mathcal{O}_{\Bbb{P}^n}(d))$ , es decir, la característica de Euler.

Tomemos también el crucial Teorema de la Dualidad de Serre, que dice $h^i(X,\mathcal{F})=h^{n-i}(X,\omega_X\otimes\mathcal{F}^*)$ . Entre otros supuestos, funciona para esquemas propios, de los que los esquemas proyectivos son los ejemplos más naturales.