¿Por qué símbolos constantes en una lengua?

Question

¿Cuál es el punto de constante de símbolos en un lenguaje?

Por ejemplo, podemos tomar el lenguaje de los anillos de $(0,1,+,-,\cdot)$. Qué es tan especial acerca de $0,1$ ahora? ¿Cuál es la diferencia entre el 0 y el 1, además de algún otro elemento del anillo?

Soy consciente, que desea tener algunos elementos, que llame a 0 y 1 que tiene las propiedades deseadas, como $x+0=0+x=x$ o $1\cdot x = x\cdot 1=x$.

Hay algo más, que hace constantes "especial"?

Otro ejemplo: Supongamos que tenemos el lenguaje $L=\{c\}$ donde $c$ es una constante símbolo. Ahora observamos la L-estructura $\mathfrak{S}_n$ sobre el conjunto de $\mathbb{Z}$, donde $c$ obtiene interpretada por $n$.

¿Hay alguna diferencia entre el $c$ e $n$? O son la misma y puede verlo como una especie de sustitución?

Para $\mathfrak{S}_0$ hemos de entender $c$ como $0$. Puesto que no hay relación - o functionsymbols, sólo tenemos el set $\mathbb{Z}$ y podría tomar nota de ellos como

$\{\dotso, -1, c, 1, \dotso\}$

Si tomamos la costumbre de función $+$ y agregarlo $L=\{c,+\}$ ahora $\mathfrak{S}_0$ tiene la propiedad, que $c+c=c$ por ejemplo.

Espero que entiendas lo que estoy pidiendo.

Creo que todo se reduce a:

Hay una diferencia entre la estructura de $\mathfrak{S}_n$ como la L-estructura y $\mathfrak{S}_n$ como $L_\emptyset$-estructura, donde $L_\emptyset=\emptyset$ (de modo que no contiene una constante de símbolos).

Pero quiero obtener una gran cantidad de información posible. Así que si usted no entiende lo que estoy pidiendo, que podría ser mejor, si usted acaba de tomar una conjetura. :)

Gracias de antemano.

Answer 1

Una $L$-la estructura no es sólo un juego, es un conjunto junto con las interpretaciones de la constante de símbolos, símbolos de función y relación de los símbolos en el $L$. Usted necesita para mantener un seguimiento de las interpretaciones como datos adicionales, de modo que usted puede hacer cosas como definir homomorphisms de $L$-estructuras: es decir, son aquellas funciones que respecto a las interpretaciones de los símbolos.

Por ejemplo, "$\mathbb{Z}$ como un grupo" y "$\mathbb{Z}$ como un conjunto" tienen el mismo conjunto subyacente, pero el primero, además, tiene (al menos) una operación binaria $+ : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, que deben ser preservados por el grupo homomorphisms.

En el ejemplo, un homomorphism de $L$-estructuras de $f : \mathfrak{S}_n \to \mathfrak{S}_m$ sería necesario para satisfacer $f(n) = m$, desde el $n$ e $m$ son las interpretaciones que de la constante de $c$, pero un homomorphism de $L_{\varnothing}$-estructuras no.

Así, mientras "$\mathfrak{S}_n$ como $L$-estructura" y "$\mathfrak{S}_n$ como $L_{\varnothing}$-estructura" tienen el mismo conjunto subyacente, que no son el mismo objeto.

Dato divertido: la asignación de "$\mathfrak{S}_n$ como $L$-estructura" a "$\mathfrak{S}_n$ como $L_{\varnothing}$-estructura" es un ejemplo de un olvidadizo functor.

Answer 2

Clive la respuesta ya está bueno, yo sólo quería añadir otro punto importante acerca de constantes. Ellos nos dan el poder de decir infinidad de cosas acerca de un elemento.

Por ejemplo, si consideramos la Aritmética de Peano , obviamente, $\mathbb N$ es un modelo. Ahora, agregue una constante $c$ a nuestro idioma y agregar frases $c > \bar n$ para todos los $n \in \mathbb N$ (donde $\bar n$ representa 1 agregado $n$ veces: $1 + 1 + \ldots + 1$). Esta nueva teoría es consistente, por compacidad, por lo que tiene un modelo de $M$. En $M$ tenemos una interpretación de $c$, que es mayor que todos los números naturales. Así obtenemos un modelo no estándar de la aritmética. Algo similar se puede hacer para crear un modelo que se parece a los reales, pero ha infinitesimals.