Encuentra el número de soluciones reales de $x^7 + 2x^5 + 3x^3 + 4x = 2018$ ?
¿Cuál es el enfoque general para resolver este tipo de preguntas? Me interesa el proceso de pensamiento.
Algunos de mis pensamientos después de ver esta pregunta: dado que $x$ tiene todos los poderes extraños, no puede tener ninguna solución negativa. 2018 es semiprime; No hay mucho progreso aquí. Podemos trazar la curva, pero es difícil graficar un polinomio de siete órdenes.
Si $x\le 0$ el lado izquierdo es negativo por lo tanto no hay solución. Suponemos $x>0$ y consideramos a $f(x)=x^7+2x^5+3x^3+4x$, a continuación, $f$ es la suma de funciones crecientes por lo tanto aumentando. Desde $f(0,\infty)=(0,\infty)$ esta ecuación tiene una única solución.
Esto se puede hacer por la diferenciación que dan más simple prueba puesto que la derivada es claramente positiva.
Hacer
$x^7+0x^6+2x^5+0x^4+3x^3+0x^2+4x-2018=0$
La Regla de los signos de Descartes fuerza exactamente una raíz positiva y ninguna raíz negativa. ¡Eso es!
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