Consideremos la integral $$I=\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x$$ Ahora, a partir de los resultados integrales estándar sabemos, $$\int\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x=\arctan(x)+c$$ Así que.., $$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x=\arctan(1)-\arctan(-1)=\frac{\pi}{4}-(-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}$$ Ahora, si estás aburrido y haciendo cosas al azar podrías evaluar esta integral de una manera indirecta mediante la sustitución $u=\dfrac{1}{x}$ .
Esto da el límite para las integrales como $u=\dfrac{1}{-1}=-1$ a $u=\dfrac{1}{1}=1$ y la diferencial pasa a ser $\mathrm{d}{x}=\dfrac{-1}{u^2}\mathrm{d}{u}$ . Por lo tanto, la integral se convierte en $$\int_{-1}^{1}\frac{1}{\frac{1}{u^2}+1}\frac{-1}{u^2}\mathrm{d}u = -\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^2+1}\mathrm{d}u=-I$$ .
Ahora, $$I=-I \implies 2I=0\implies \pi=0$$ .
Así que ahí tienes tu prueba falsa.
Creo que el problema en la prueba viene cuando hacemos la sustitución $x=\dfrac{1}{u}$ . Pero, no sé lo que es. ¿Tiene algo que ver con la continuidad de la sustitución, o es otra cosa.
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Piensa en los límites. ¿Qué ocurre cuando $x\to0$ ?
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@PeterForeman Entonces, si la variable sustituida se vuelve discontinua en algún punto donde la variable original era continua entonces no podemos proceder con la integración con sustitución. ¿Estoy en lo cierto?
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Puede cambiar los límites, si la variable no está definida en alguna parte. 1/x es discontinuo (para ser más precisos) en el intervalo [-1,1]. Para ello tienes que separar en dos integrales $\int_{-1}^{0^-} + \int_{0^+}^1$
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BTW, con TeX y MathJax, usted quiere la puntuación dentro del doble signo de dólar, ya que termina la línea. De lo contrario, acabas con la puntuación sola en la línea siguiente. (Con un solo signo de dólar, quieres la puntuación fuera, ya que la puntuación no es parte de las matemáticas).