Escribiendo$x^2+xy+y^2$ como producto

Question

¿Cómo se puede escribir este polinomio como producto de dos factores complejos? Sé que tiene algo que ver con la raíz n th de 1 pero me quedé atascado.

Answer 1

$$x^2+xy+y^2=(x+0.5y)^2+0.75y^2=(x+0.5y)^2-(\sqrt{0.75}yi)^2$ $ luego use el hecho $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ $

Answer 2

$$ x ^ 2 + xy + y ^ 2 = y ^ 2 (u ^ 2 + u +1), $$ donde $u=x/y$ . Esto es posible porque es una ecuación homogénea.

$$ u ^ 2 + u +1 = (u- \ lambda) (u- \ mu), $$ Donde $$ \ lambda = \ frac {-1+ \ sqrt {-3}} {2}, \ mu = \ frac {-1- \ sqrt {-3}} {2} $$ Así que ahora puedes escribir $$ x ^ 2 + xy + y ^ 2 = (x- \ lambda y) (x- \ mu y) . $$

Answer 3

$$(y-\frac{i}{2}(x\sqrt{3} + ix))(y+\frac{i}{2}(x\sqrt{3}-ix))$$ Creo que esto es lo correcto... He aquí el proceso: $$xy+y^2=-x^2$$ $$\frac{x^2}{4}+xy+y^2=\frac{-3x^2}{4}$$ $$(\frac{x}{2}+y)^2 = \frac{-3x^2}{4}$$ $$\frac{x}{2}+y = \pm \frac{1}{2} i \sqrt{3} x$$ $$y = \pm \frac{1}{2} i \sqrt{3} x - \frac{x}{2}$$ $$y = \frac{1}{2} i (x\sqrt{3} + ix)$$ $$y = -\frac{1}{2} i (x\sqrt{3} - ix)$$ Estos son los factores. Para mostrar por qué vistazo a la siguiente. $$y - \frac{1}{2} i (x\sqrt{3} + ix) = 0$$ $$y + \frac{1}{2} i (x\sqrt{3} - ix) = 0$$ Se ve algo como una ecuación cuadrática... $$(y - \frac{1}{2} i (x\sqrt{3} + ix))(y + \frac{1}{2} i (x\sqrt{3} - ix))$$

Answer 4

Qué pasa

\begin{align*} x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy&=\overbrace{\color{blue}{(x+y+\sqrt{xy})\cdot (x+y-\sqrt{xy})}}^{\text{if }xy\;\ge\;0}\\ &=\underbrace{(x+y+i\sqrt{-xy})\cdot (x+y-i\sqrt{-xy})}_{\text{if }xy\;<\;0} \end{align*}

Answer 5

Aquí es una manera de utilizar los hechos acerca de la formas cuadráticas:

• $x^2+xy+y^2$ es una forma cuadrática $q(x,y)=(x\;y)A\binom{x}{y}$ asociado con la matriz simétrica $A = \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$

Por lo tanto, $q(x,y)= \lambda_1u^2 + \lambda_2v^2$, $\lambda_1,\lambda_2$ siendo los autovalores de a$A$, e $\binom{u}{v} = O\binom{x}{y}$ donde

• $\lambda_1 = \frac{1}{2}, \lambda_2 = \frac{3}{2}$
• $O = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Así que se puede obtener $$x^2+xy+y^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{y-x}{\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{3}{2}\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2= \left(\frac{y-x}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{x+y}{2}\right)^2 = \left( \frac{y-x}{2} + i\cdot\sqrt{3} \frac{x+y}{2} \right)\left( \frac{y-x}{2} - i\cdot\sqrt{3} \frac{x+y}{2} \right)$$