Dos chicos eligen un subconjunto de $40$ juguetes que les gustan. Pueden elegir los mismos. ¿Cuál es la probabilidad de que hayan elegido tres juguetes iguales o más?

Question

Dos chicos eligen un subconjunto de $40$ juguetes que les gustan. Pueden elegir los mismos. ¿Cuál es la probabilidad de que hayan elegido tres juguetes iguales o más? Mi respuesta sería $$\frac{ \sum_{ i =3}^{40} \binom{40}{i} 3^{40-i}} { 2^{40} 2^{40}}.$$ ¿Es eso cierto? Primero escogería los mismos juguetes que ellos escogieron, luego para cada uno de los juguetes restantes, le daría al primer niño, al segundo o a nadie.

Answer 1

Sí, su respuesta es correcta.

También puedes reescribir la fórmula para que sea más clara como \begin {Ecuación} \sum_ {i=3}^{40} {40 \choose i } \bigg ( \frac {1}{4} \bigg )^{i} \bigg ( \frac {3}{4} \bigg )^{40-i} \end {Ecuación}

Como cada juguete tiene una probabilidad $1/4$ para ser elegido por los dos chicos, y $3/4$ para ser elegido como máximo por 1 chico y $i$ los juguetes pueden ser elegidos en ${40 \choose i }$ formas.