¿Es cierto que los valores propios de$A + B$ son la suma de algunos valores propios de$A$ y algunos valores propios de$B$?

Question

¿Es cierto que los valores propios de $A + B$ son la suma de algunos valores propios de $A$ y algunos valores propios de $B$ ?

Estoy tomando una clase de álgebra lineal y recientemente aprendí sobre valores propios. Creo que esta afirmación es cierta, pero no es un teorema que pueda encontrar en cualquier lugar. Lo he probado para muchos ejemplos, y solo quería que alguien me confirmara.

Gracias

Answer 1

Tomar

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}$$

Los autovalores son dadas por $\lambda_{1/2}=1$ e $\lambda'_{1/2}=\pm1$. La suma es de aquellos que se

$$C=A+B=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}$$

Los correspondientes autovalores son $\mu_{1/2}=1\pm\sqrt 2$ que no puede ser interpretada como la suma de los citados valores propios.

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Creo que la razón por la que no fueron capaces de encontrar esta conjetura teorema dentro de la literatura es que falla en general. Como se muestra por la búsqueda de un solo contraejemplo tenemos que admitir que no se sostiene para todas las matrices, pero puede ser cierto para algunos.

Answer 2

Mira $$A=\begin{pmatrix} 0&0\\1&0\end{pmatrix}+B=\begin{pmatrix} 0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&-1\\2&0\end{pmatrix}$ $

Los valores propios de $A$ son cero, mientras que $B$ son $\pm i$ y los valores propios de su matriz de suma son $\pm i\sqrt{2}$ . Pero $$0 \pm i \neq \pm i\sqrt{2}$ $

Answer 3

Como otros ya han demostrado al proporcionar ejemplos contrarios, el resultado que mencionó generalmente no se cumple. Sin embargo, si $A$ y $B$ conmutan, entonces es cierto.

Answer 4

No es difícil encontrar un contraejemplo.

Los valores propios de

$$\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ $ y \begin{pmatrix}3&0\\1&4\end {pmatrix} se encuentran en las diagonales y son enteros.

Los valores propios de

PS

son las raíces de $$\begin{pmatrix}4&1\\1&6\end{pmatrix}$ , que son irracionales (el discriminante no es un cuadrado perfecto).