Número de raíces reales de $p_n(x)=1+2x+3x^2+....+(n+1)x^n$ si $n$ es un entero impar

Question

Si $n$ sea un entero impar. Entonces encuentre el número de raíces reales de la ecuación polinómica $p_n(x)=1+2x+3x^2+....+(n+1)x^n$

$$ p_n(x)=1+2x+3x^2+....+(n+1)x^n\\ x.p_n(x)=x+2x^2+....nx^n+(n+1)x^{n+1}\\ p(x)[1-x]=1+x+x^2+....+x^n-(n+1)x^{n+1}\\ p(x)=\frac{1+x+x^2+....+x^{n}}{1-x}-\frac{(n+1)x^{n+1}}{1-x}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\frac{1}{1-x}-\frac{(n+1)x^{n+1}}{1-x}\\ =\frac{x^{n+1}-1-(n+1)(x-1)x^{n+1}}{-(x-1)^2}=\frac{x^{n+1}-1+(n+1)x^{n+1}-(n+1)x^{n+2}}{-(x-1)^2}\\ =\frac{(n+2)x^{n+1}-(n+1)x^{n+2}-1}{-(x-1)^2}=\frac{1-(n+2)x^{n+1}+(n+1)x^{n+2}}{(x-1)^2}=0\\ \implies \boxed{(n+2)x^{n+1}-(n+1)x^{n+2}=1} $$

Creo que estoy atascado en mi intento, ¿cómo puedo encontrar las verdaderas soluciones?

Answer 1

Ha descubierto que $p(x)$ es una función racional. Es cero si y sólo si su numerador es cero. Su numerador es un polinomio de la forma $Ax^{n+2}+Bx^{n+1}+C$ , donde $A,B,C$ son constantes. La derivada de ese numerador es de la forma $Dx^{n+1}+Ex^n=x^n(Dx+E)$ para algunas constantes $D,E$ . Es fácil ver cuántas raíces reales tiene esa derivada. Entonces el Teorema de Rolle te dice algo sobre cuántas raíces reales tiene el numerador original. ¿Puedes completar los detalles y sacar una conclusión?

Answer 2

$$ p(x)=1+2x+3x^2+\ldots+(n+1)x^n;\\ xp(x)=x+2x^2+3x^3+\ldots+(n+1)x^{n+1};\\ (1-x)p(x)=1+x+x^2+\ldots+x^n-(n+1)x^{n+1}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-(n+1)x^{n+1}\\ =\frac{1-x^{n+1}-(1-x)(n+1)x^{n+1}}{1-x}=0.\\ \Rightarrow1-x^{n+1}-(1-x)(n+1)x^{n+1}=0 $$ Tenga en cuenta que $x=1$ no es claramente una solución de la ecuación original. Como resultado, la ecuación anterior es realmente equivalente a su ecuación original, aparte de tener una raíz extra $x=1$ .

Esta es la ecuación que intentamos resolver: $$ 1-x^{n+1}-(1-x)(n+1)x^{n+1}\equiv (n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}+1=0\\ \Leftrightarrow(n+1)x^{n+2}=(n+2)x^{n+1}-1 $$ Como la ecuación original no tiene raíces para $x\geq 0$ nos centramos ahora en el caso $x<0$ . Cuando $x<0$ El LHS está disminuyendo hacia $-\infty$ ; RHS está aumentando hacia $\infty$ . LHS>RHS para $x=0$ . Esto nos dice que la ecuación original sólo tiene una raíz.