Si$F_X(z) > F_Y (z)$ para todos$z\in \mathbb{R}$ entonces$P(X < Y ) > 0$?

Question

Me encontré con esta pregunta en un examen de un antiguo examen de tomé. Yo no se la respuesta correctamente, y estoy luchando por la figura de la respuesta ahora. Alguien me puede ayudar razón a través de esto?

Probar o Refutar que si $F_X(z) > F_Y (z)$ para todos los $z\in \mathbb{R}$ entonces $P(X < Y ) > 0$. No podemos asumir la independencia.

Aquí es lo que he intentado:

Pensé que podría ser capaz de acercarse a este por probando esto a través de la contradicción. Empecé asumiendo $P(X<Y)=0$. A continuación,

\begin{eqnarray*} F_{X}(z)=P(X\le z) & = & P(X\le z,X<Y)+P(X\le z,X\ge Y)\\ & = & 0+P(X\le z,X\ge Y) \end{eqnarray*}

Alguien puede ayudar desde aquí?

Answer 1

En primer lugar, cabe señalar que el antecedente de la condición en su conjetura es un poco más fuerte la versión de que la condición estricta de primer orden de dominancia estocástica (FSD) $X \ll Y$, lo que implica esta relación de dominancia estocástica. Esta condición es mucho más fuerte de lo que realmente necesita para obtener el resultado en la conjetura, así que le daré una prueba para un mayor resultado (la misma implicación pero con un antecedente más débil condición). Su método elegido de la prueba es una buena, y usted está casi allí - sólo un paso más para ir!

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Teorema: Si $F_X(z) > F_Y(z)$ para algunos $z \in \mathbb{R}$ entonces $\mathbb{P}(X<Y) > 0$.

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Prueba: vamos a proceder mediante una prueba por contradicción. Contrario al resultado en el teorema de, supongamos que $\mathbb{P}(X<Y)=0$. A continuación, para todos los $z \in \mathbb{R}$ usted tiene: $$\begin{equation} \begin{aligned} F_X(z) = \mathbb{P}(X \leqslant z) &= \mathbb{P}(X \leqslant z, X < Y) + \mathbb{P}(Y \leqslant X \leqslant z) \\[6pt] &= 0 + \mathbb{P}(Y \leqslant X \leqslant z) \\[6pt] &= \mathbb{P}(Y \leqslant X \leqslant z) \\[6pt] &\leqslant \mathbb{P}(Y \leqslant z) = F_Y(z), \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$ lo que se contradice con el antecedente condición para que el teorema. Esto establece el teorema de la contradicción. $\blacksquare$

Answer 2

Bajo el supuesto de que $X$ y $Y$ son independientes y continuos, \begin{align*}\Bbb P(X<Y)&=\Bbb E^Y[\Bbb I_{X<Y}\mid Y]\\ &=\Bbb E^Y[F_X(Y)]\\&>\Bbb E^Y[F_Y(Y)]\\ &=\int_{\Bbb R} F_Y(y) \, \text{d}F_Y(y) \\&= \frac{1}{2} \int_{\Bbb R} \, \text{d}F_Y^2(y)\\&=\frac{1}{2}F_Y^2(\infty)-\frac{1}{2}F_Y^2(-\infty)\\&=1/2\end {align *} Además, $$\int_{\Bbb R} F_Y(y) \,\text{d}F_Y(y)=\int_{\Bbb R} \Bbb P(Y'<y) \,\text{d}F_Y(y)$ $ cuando $Y'\sim F_Y(\cdot)$ , o $$\int_{\Bbb R} F_Y(y) \,\text{d}F_Y(y)=\Bbb P(Y'<Y)$ $ cuando $Y,Y'\stackrel{\text{iid}}{\sim} F_Y(\cdot)$ , lo que implica $$\int_{\Bbb R} F_Y(y) \,\text{d}F_Y(y)=1/2$ $