El especial lineales grupo $SL(n, \mathbb{R})$ grado $n$ sobre $\mathbb{R}$ es el conjunto de $n \times n$ matrices con determinante $1$, con el grupo de operaciones de ordinario la multiplicación de la matriz y de la matriz de inversión. Denotamos por a$SL(n, \mathbb{Z})$ el grupo de $n \times n$ matrices con números enteros entradas y determinante es igual a 1. Tenga en cuenta que $SL(n, \mathbb{Z})$ es un subgrupo discreto de $SL(n, \mathbb{R})$.
Deje $G$ a ser un grupo topológico y $H$ a un subgrupo de $G$. Vamos a decir que un regular de la medida de Borel $\mu$ en el cociente $G/H$ es una izquierda invariante Haar medir si para todos los conjuntos de Borel $E \subseteq G/H$ y todos los $g \in G$ tenemos $\mu(gE) = \mu(E)$.
Si $G$ es localmente compacto Hausdorff grupo y $\Gamma$ es un subgrupo discreto tal que $G/H$ lleva un número finito de izquierda G-invariante Harr medida, entonces decimos que la $\Gamma$ es $\textbf{lattice}$ en $G$.
Tenemos los siguientes resultados:
$SL(n, \mathbb{Z})$ es un entramado en $SL(n,\mathbb{R})$. Por otra parte, la quotiont $SL(n,\mathbb{R})/SL(n, \mathbb{Z})$ no es compacto.
(Mahler Criterio) Para un sequnece $(g_{m})_{m\in \mathbb{N}}$ de $SL(n,\mathbb{R})$, la secuencia de $(\pi (g_{m}))_{m\in \mathbb{N}}$ de $SL(n,\mathbb{R})/SL(n, \mathbb{Z})$ no tiene convergente larga si, y sólo si, existe una secuencia $v_{m} \in \mathbb{Z}^{n}$ con $v_{m} \neq 0$ tal que $g_{m}(v_{m})$ tiende a $0$.
donde $\pi :SL(n,\mathbb{R}) \to SL(n,\mathbb{R})/SL(n, \mathbb{Z})$ es la natural proyección.
El segundo resultado sugerir a mí que $SL(n,\mathbb{R})/SL(n, \mathbb{Z})$ es un espacio de Hausdorff, pero no puedo encontrar ninguna referencia. Así que, no sé si es cierto.
Gracias
