¿Un mapa es inyectivo si no es cero en el punto genérico?

Question

Proposición IV 2.1 en Hartshorne dice que si $f: X\to Y$ es finita separables de morfismos de curvas. A continuación, $f^{*}\Omega_Y\to \Omega_X$ es inyectiva.

Y es que este diciendo que va a ser suficiente para mostrar el mapa es distinto de cero en el punto genérico, ya que tanto $f^{*}\Omega_Y$ e $\Omega_X$ son invertible poleas en $X$.

No sé por qué esta prueba puede llevar a la conclusión de inyectiva. Podría alguien explicar? Gracias!

Answer 1

$\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}$$\newcommand{\h}{\mathcal{O}}$Ya que se puede comprobar de inyectividad en los tallos $x$ bien podemos trabajar a través de algunas afín a abrir $\mathrm{Spec}(A)\subseteq Y$ con preimagen $x\in \mathrm{Spec}(B)\subseteq X$. Nota entonces que estamos tratando de mostrar que

$$ (f^\ast \Omega^1_{Y/k})_x\to (\Omega^1_{X/k})_x$$

es inyectiva. Pero, concretamente si $x=\mathfrak{p}\in\mathrm{Spec}(B)$ e $f(x)=\mathfrak{q}\in \mathrm{Spec}(A)$ esto es sólo tratando de mostrar que

$$M:=\Omega^1_{A_\mathfrak{q}/k}\otimes_{A_\mathfrak{q}}B_{\mathfrak{p}}\to \Omega^1_{B_\mathfrak{p}/k}=:N$$

un mapa de $B_\mathfrak{q}$-módulos es inyectiva. Pero, puesto que el $\Omega^1_{X/k}$ e $f^\ast \Omega^1_{Y/k}$ son de la línea de paquetes, sabemos que $M$ e $N$ son solo libre $B_\mathfrak{p}$-módulos de rango $1$. Nota que esto implica que $M$ e $N$ son planas, por lo que los mapas de $M\to M\otimes_{B_\mathfrak{p}} K$ e $N\to N\otimes_{B_\mathfrak{p}}K$ son inyectiva. Así, no es suficiente para mostrar que $M\otimes_{B_\mathfrak{p}} K\to N\otimes_{B_\mathfrak{p}}K$ es inyectiva que, puesto que estos son los mapas de una dimensión de espacios vectoriales, es cierto si el mapa es distinto de cero.

La escritura es más geométricamente, supongamos que $f:\ms{E}\to \ms{E}'$ es un mapa del vector de paquetes en un esquema integral $X$ (que se supone Noetherian por simplicidad) con punto genérico $\eta$. Para cualquier punto de $x\in X$ tenemos, por definición, que

$$\ms{E}_x:=\varinjlim_{x\in U}\ms{E}(U)$$

y

$$\ms{E}_\eta:=\varinjlim_{U}\ms{E}(U)$$

Desde $\{x\in U\}$ es un subsistema de sólo $\{U\}$ obtenemos un natural mapa de $\ms{E}_x\to \ms{E}_\eta$. Pretendemos que este mapa es inyectiva. Pero, esto es claro ya que en cualquier afín a abrir $\mathrm{Spec}(A)$ de $x$ si $\ms{E}\mid_{\mathrm{Spec}(A)}\cong \widetilde{M}$ este es el mapa $M\otimes_A A_x\to M\otimes_A \mathrm{Frac}(A)$ que es inyectiva ya que $A_x\to \mathrm{Frac}(A)$ es inyectiva y $M$ es un plano $A$-módulo (ya que es proyectiva).

Así, obtenemos el diagrama de

$$\begin{matrix} 0 & & 0\\ \downarrow & & \downarrow\\ \ms{E}_x & \xrightarrow{f_x} & \ms{E}'_x\\ \downarrow & & \downarrow\\ \ms{E}_\eta & \xrightarrow{f_\eta} & \ms{E}'_\eta\end{matrix}$$

Desde $\ms{E}_x$ es faithully plana (de hecho finito libre) a través de $\mathcal{O}_{x,x}$ vemos que $f_x$ es inyectiva si y sólo si $f_\eta$ es. Desde $x$ fue arbitraria, podemos ver que $f$ es inyectiva si y sólo si $f_\eta$ es.

Si, además, $\ms{E}$ e $\ms{E}'$ son de la línea de paquetes, de modo que $\ms{E}_\eta$ e $\ms{E}'_\eta$ son unidimensionales $k(\eta)$-espacios sabemos que $f_\eta$ es inyectiva si y sólo si es distinto de cero. Por lo tanto, $f$ es inyectiva si y sólo si $f_\eta$ es distinto de cero.

PD: Sólo una palabra de advertencia, la obvia analógica de la declaración de arriba para surjectivity es manifiestamente falso. Por ejemplo, el mapa de $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ dado por $x\mapsto 2x$ es, sin duda genéricamente surjective, pero no surjective. Intuitivamente, el punto es que el núcleo de un mapa de vector de paquetes es de torsión libre, por lo que no pueden ser destruidos por el paso a los genéricos de tallo (es decir, no pueden ser asesinados por tensoring con la fracción de campo), pero la cokernel no tienen que ser de torsión libre.